38、高效计算：Petri网综合与线性双态射翻译

高效计算：Petri网综合与线性双态射翻译

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在Petri网综合领域，有一种固定点算法可用于计算给定标记迁移系统（labelled transition system, LTS）的最小Petri网过近似。该算法依据LTS同态预序来理解最小性，此预序是不同LTS状态间的边保留函数。

1.1 固定点算法原理

从一个有限且可达的LTS (A) 开始，通过迭代应用Expand函数构建一个链：(A_0 = A)，(A_{i + 1} = Expand(A_i))。这个链最终会达到一个固定点 (A^*)（直到同构）。

为证明固定点的存在性，我们考虑链中的任意LTS (A_i)。存在一个有界的最小Petri网过近似 (N(R’)) ，设 (m) 为 (N(R’)) 中可达标记的数量。通过迭代应用相关引理可知 (A ⊑ A_i ⊑ RG(N(R’))) 。设 (n) 为 (Merge(A_i)) 的状态数量，由于 (Merge(A_i)) 和 (RG(N(R’))) 中的每个状态分离问题都是可解的，且 (Merge(A_i)) 的每个区域都可通过引理转移到 (RG(N(R’))) ，所以 (n ≤ m) 。这也为 (Expand(A_i)) 的大小提供了上限，它最多有 (m · (1 + |T|)) 个状态，因为每个状态和标签最多添加一个状态。

每个 (A_i) 都是确定性且可达的，在这种情况下，预序 (⊑) 实际上是一个偏序。如果在偏序序列中某个元素出现两次，它必然连续出现两次，从而是底层函数的一个固定点。由于状态数量有上限且字母表固定的不同LTS数量有限，至少有一个LTS (A’) 会在链 ((A_i)_{i∈N})