29、部分单词周期性引理相关研究

部分单词周期性引理相关研究

1. 函数 Hs 和 Ls

对于互质整数 (p)、(q)（(1 < p < q)）以及整数 (n \geq q)，定义函数 (Hs(n, p, q)) 如下：
[Hs(n, p, q) = \left\lfloor\frac{n - q}{p}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n - q + 1}{p}\right\rfloor]
Fine 和 Wilf 构造了一个长度为 (p + q - 2) 的单词，该单词具有周期 (p) 和 (q)，但不具有周期 1。对于给定的 (p) 和 (q)，选择这样的单词 (S_{p,q})，并定义部分单词 (W_{p,q}) 为：
[W_{p,q} = (S_{p,q}[0..p - 3]\diamond\diamond)^k \cdot S_{p,q} \cdot (\diamond\diamond S_{p,q}[q..q + p - 3])^k]
其中 (k = \lfloor q / p\rfloor)。直观上，部分单词 (W_{p,q}) 是 (S_{p,q}) 的扩展，保留了周期 (p)，并将少量符号改为空洞以保证关于周期 (q) 的周期性。
以下是一个例子，当 (p = 5)，(q = 7) 时：
- (S_{5,7} = ababaababa)
- (W_{5,7} = aba\diamond\diamond ababaababa \diamond\diamond aba)
这个部分单词长度为 20，有 4 个空洞。因此，(H(20, 5, 7) \leq 4 = Hs(20, 5, 7)) 且 (L(4, 5, 7)