21、关于PSPACE和PH完全语言的正则交集空性研究

关于PSPACE和PH完全语言的正则交集空性研究

在计算机科学的逻辑与自动机理论领域，判定正则语言与特定复杂性类语言的交集是否为空是一个重要的问题。本文将围绕量化布尔公式的正则语言交集空性展开，介绍相关定义、定理及证明过程。

基本定义

• 量化布尔公式编码 ：设 $\Gamma = {a, b, \langle, \rangle, \land, \lor, +, -}$，$\pm$ 表示正则表达式 ${+, -}$。定义 $L_{k - QBF}$ 为编码后的 $3 - CNF$ 量化布尔公式的正则集，$L_{QBF} = \bigcup_{k \geq 1} L_{k - QBF}$ 为无量化交替深度限制的编码量化布尔公式集。
• 真量化布尔公式集 ：$L_{\Sigma_k}$（$L_{\Pi_k}$）是 $L_{k - QBF}$ 中所有首量词为存在（全称）的真量化布尔公式集。$L_{k - TQBF} = L_{\Sigma_k} \cup L_{\Pi_k}$，$L_{TQBF} = \bigcup_{k \geq 1} L_{k - TQBF}$。
• 复杂性类 ：对于奇数 $k$，$L_{\Sigma_k}$ 是 $\Sigma^P_k$ 完全的；对于偶数 $k$，$L_{\Pi_k}$ 是 $\Pi^P_k$ 完全的。$L_{TQBF}$ 是 $PSPACE$ 完全的。

主要定理

• 定理 1 ：对于正则语言 $R$