22、正则交集为空性与基于转换器的学习者研究

正则交集为空性与基于转换器的学习者研究

1. 正则语言与量化布尔公式的交集判定

1.1 计算层级的算法

计算 $G_{\Delta, s}^{q, q’}$ 层级的算法如下：

if G△,s
q,q′ ∩{i | i ≡1 mod 2} ̸= ∅then
    level(G△,s
q,q′) ←min

    G△,s
q,q′ ∩{i | i is odd and i ≥counter}
    
    counter ←level(G△,s
q,q′) + 2
else
    level(G△,s
q,q′) ←G△,s
q,q′ ∩{i | i ≡0 mod 2 and |Q| ≤i ≤2|Q||Q|}
end

该算法的目的是：如果可能，选取一个高于阈值 $2|Q||Q|$ 的存在性代表，并通过量化层级进行分离；否则，为低于该阈值的每个全称层级引入一个代表。

1.2 归约的正确性

设 $A = (Q, \Gamma, \delta, q_0, F)$ 是一个确定性有限自动机。则 $L(A) \cap L_{TQBF} \neq \varnothing$ 当且仅当 $L(restrict(A)) \cap L_{TQBF} \neq \varnothing$。
- 证明思路（⇒） ：设 $w \in L(A) \cap L_{TQBF}$。利用泵引理将全称量词替换为存在量词，并将存在量词移到末尾，同时将无界的全称量词合并为一个有限块。对变量进行重命名后得到一个属于 $