30、晶体管放大器频率特性解析

晶体管放大器频率特性解析

1. 低频下的晶体管放大器

在低频情况下，晶体管放大器的性能会受到一些因素的影响。以特定的晶体管放大器电路为例，通过对电路中不同节点应用基尔霍夫电流定律（KCL），可以得到相关的电流方程。

在图 8.4(a) 和 8.4(b) 的电路中，对相应节点应用 KCL 分别得到方程 (8.6) 和 (8.7)，经观察发现这两个方程相同，所以这两个电路是等效的。

图 8.5 展示了一个可用于低频放大的晶体管放大器及其等效电路。该放大器在低频时的行为受电容 (C_3) 影响。图 8.5(b) 给出了适用于低频和中频的增量模型，但其中的参数是近似值，主要用于估算 (C_3) 为达到满意性能所需的大小。

通过对图 8.5(b) 电路中的电流源 (βI_B) 进行等效替换，并应用简化定理，可得到图 8.5(d) 的简化等效电路。在典型电路中，(R_1) 可能为 5 或 10 千欧，((1 + β)R_3) 可能为 50 或 100 千欧。在极低频率下，(C_3) 相当于开路，大部分信号电流会流经 (R_1) 而非晶体管基极，从而导致电流放大倍数相应降低。因此，为实现大且均匀的放大，应选择 (C_3) 在信号正弦分量所在频段的所有频率下都相当于短路。

根据图 8.5(d) 电路，可得出电流增益的相关公式：
- 电流增益 (A_C = \frac{I_2}{I_1} = \frac{βI_b}{I_1})
- (I_b = \frac{R_1}{R_1 + r_n + Z_{eq}} \cdot I_1)，其中 (Z_{eq} = \frac{(1 + β)R_3}{1 + jωR_3C_3})

进一步推导可得：
- (I_b = \frac{R_1I_1}{R_1 + r_n} \cdot \frac{1 + jω/ω_3}{1 + \frac{(1 + β)R_3}{R_1 + r_n} + j\frac{ω}{ω_3}})
- (A_C = \frac{βR_1}{R_1 + r_n} \cdot \frac{1 + jω/ω_3}{1 + \frac{(1 + β)R_3}{R_1 + r_n} + j\frac{ω}{ω_3}})

定义新的参数 (A_m = \frac{βR_1}{R_1 + r_n}) 和 (k_3 = \frac{(1 + β)R_3}{R_1 + r_n})，则电流增益可表示为 (A_C = \frac{A_m}{1 + k_3} \cdot \frac{1 + jω/ω_3}{1 + j\frac{ω}{(1 + k_3)ω_3}})。

在中频范围内，(\frac{ω}{ω_3}) 很大，上式右边第二个因子趋近于 1，所以第一个因子就是中频时的电流增益。该公式可用于指导晶体管放大器低频响应的设计，选择旁路电容 (C_3) 使幅度特性的转折点出现在信号频段以下的合适位置。改变 (C_3) 的值不会改变幅度特性斜坡的形状，只会使其沿频率轴平行移动。

以下是一个示例：已知 (R_1 = 3 KΩ)，(r_n = 12 KΩ)，(R_3 = 1 KΩ)，(β = 80)，(C_3 = 2.5 µF)，构建该放大器在低频和中频范围内的对数幅度特性。
- 中频放大倍数 (A_m = \frac{βR_1}{R_1 + r_n} = \frac{80×3}{3 + 12} = 18)，以分贝表示为 (A_m(dB) = 20log_{10}18 = 25 dB)
- 转折频率 (ω_3 = \frac{1}{R_3C_3} = \frac{1}{1000×2.5×10^{-6}} = 400 rad/sec)，对应的频率 (f_3 = \frac{ω_3}{2π} ≈ 64 Hz)
- (k_3 = \frac{(1 + β)R_3}{R_1 + r_n} = \frac{(1 + 80)×1}{3 + 12} = 5.4)
- ((1 + k_3)ω_3 = (1 + 5.4)×400 = 2560 rad/sec)，对应的频率 ((1 + k_3)f_3 = (1 + 5.4)×64 = 410 Hz)
- 低频放大倍数比中频小 (20log_{10}(1 + k_3) = 20log_{10}6.4 = 16 dB)，所以从直流到 64 Hz 的转折频率处，增益为 (25 - 16 = 9 dB)

可以使用以下 MATLAB 脚本绘制增益与频率的平滑曲线：

f=1:10:10^(6); w=2.*pi.*f; beta=80; R1=3000; R3=1000; C3=2.5.*10.^(−6); rn=12000;
w3=1./(R3.*C3); Am=(beta.*R1)./(rn+R1); k3=((1+beta).*R3)./(rn+R1);
Ac=(Am.*(1+j.*w./w3))./((1+k3)*(1+j.*w./((1+k3).*w3))); y=20*log10(abs(Ac)); semilogx(f,y); grid

2. 高频下的晶体管放大器

在高频情况下，晶体管放大器采用混合 - π 模型。图 8.8 展示了该模型，图 8.9(a) 的晶体管放大器在中高频下的增量模型如图 8.9(b) 所示。

在图 8.9(b) 电路中，电阻 (R_1) 代表 (R_A)、(R_B) 以及与信号源相关的电阻。放大器在高频时的行为受寄生电容 (C_c) 和 (C_e) 影响，这些电容在高频时会使节点短路到地，导致电压和电流显著减小。

通过一系列推导和近似处理，可得到相关公式：
- 流经电容 (C_c) 的电流 (I = jωC_c(v + Av) ≈ jωC_c(1 + A)v)，其中 (A = -\frac{g_mr_oR_2}{r_o + R_2} ≈ g_mR_2)，这种将电流等效为电容值为 ((1 + A)C_c) 的电容的现象称为米勒效应。
- (I_2 = \frac{r_o}{r_o + R_2}g_mv)
- (C_{eq} = C_e + (1 + A)C_c)
- (R_{eq} = \frac{r_{be}R_1}{r_{be} + R_1})
- (v = \frac{R_{eq}}{R_{eq} + \frac{1}{jωC_{eq}}} \cdot I_1 = \frac{R_{eq}}{1 + jωR_{eq}C_{eq}} \cdot I_1)
- 电流增益 (A_c = \frac{I_2}{I_1} = \frac{r_o}{r_o + R_2}g_m\frac{R_{eq}}{1 + jωR_{eq}C_{eq}})

定义中频电流增益 (A_m = \frac{r_o}{r_o + R_2}g_mR_{eq}) 和半功率频率 (ω_1 = \frac{1}{R_{eq}C_{eq}})，则电流增益可表示为 (A_c = \frac{A_m}{1 + j\frac{ω}{ω_1}})。

放大器的有用频率范围通常认为延伸到半功率频率。半功率频率 (ω_1) 可进一步表示为 (ω_1 = \frac{ω_β}{1 + \frac{r_{be}}{R_1} + \frac{AC_c}{C_e}})，其中 (ω_β = \frac{1}{r_{be}C_e})。显然，半功率点频率 (f_1) 可能大于或小于 (\beta) 截止频率 (f_β)，具体取决于电阻 (R_1) 和增益 (A) 的值。

以下是一个示例：已知 (R_1 = 5 KΩ)，(R_2 = 1 KΩ)，静态集电极电流 (I_C = 5 mA)，(β = 80)，(r_b’ = 50 Ω)，(C_c = 3 pF)，(r_o = 50 KΩ)，电流增益 - 带宽频率 (f_T = 400 MHz)，求解相关参数。
- 计算 (g_m = 40I_C = 40×5×10^{-3} = 0.2 Ω^{-1})
- (r_{be} = \frac{β}{g_m} = \frac{80}{0.2} = 400 Ω)
- (f_β = \frac{f_T}{β} = \frac{400}{80} = 5 MHz)
- (C_e = \frac{g_m}{ω_T} = \frac{0.2}{2π×4×10^8} = 79.6 pF)
- 米勒效应电容 ((1 + A)C_c)，其中 (A = g_mR_2 = 0.2×1000 = 200)，所以 ((1 + A)C_c = (1 + 200)×3×10^{-12} = 603 pF)
- 中频电流放大倍数 (A_m ≈ g_mR_{eq})，(R_{eq} = \frac{r_{be}R_1}{r_{be} + R_1} = \frac{400×5000}{400 + 5000} = 370 Ω)，则 (A_m = 0.2×370 = 74)
- 半功率频率 (f_1 = f_β\frac{1}{1 + \frac{r_{be}}{R_1} + \frac{AC_c}{C_e}} = 5×10^6\frac{1}{1 + \frac{400}{5000} + \frac{200×3×10^{-12}}{80×10^{-12}}} = 0.635 MHz)

3. 级联放大器的频率特性

单级电压和电流放大器的信号放大倍数通常小于 100，为获得更大的放大倍数，常将多个放大器级联。级联放大器在低频和高频时信号传输趋于零，属于带通网络。其设计问题包括在宽频带内实现均匀放大，或在特定频率范围内放大信号并抑制其他频率信号。

图 8.14 展示了一个 RC 耦合晶体管放大器电路及其高频等效电路。其中，电容 (C_4) 为级间耦合电容，用于阻断 RC 耦合网络中的直流分量。

在高频模型中，假设基极扩展电阻 (r_{be}’) 可忽略，定义了等效电导 (G_{eq1})、(G_{eq2}) 和 (G_{eq3})：
- (G_{eq1} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{r_{be}})
- (G_{eq2} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{r_{be}} + \frac{1}{R_2})
- (G_{eq3} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_4})

第二级放大器的模型与单级放大器类似，可通过米勒电容考虑集电极电容的影响，米勒电容 (C_2 = (1 + A_2)C_C)，其中 (A_2 = \frac{v_3}{v_2})。同理，第一级放大器也有类似的米勒效应，不过其负载具有电容和电阻分量，米勒效应略有不同。

从图 8.14(c) 可得：
- (I_3 = -g_mv_2)
- (I_2 = [G_{eq2} + jω(C_E + C_2)]v_2)
- 第二级电流增益 (A_{c2} = \frac{I_3}{I_2} = -\frac{g_m}{G_{eq2}} \cdot \frac{1}{1 + j\frac{ω(C_E + C_2)}{G_{eq2}}})
- (I_2 = -g_mv_1)
- (I_1 = [G_{eq1} + jω(C_E + C_c + C_1)]v_1)
- 第一级电流增益 (A_{c1} = \frac{I_2}{I_1} = -\frac{g_m}{G_{eq1}} \cdot \frac{1}{1 + j\frac{ω(C_E + C_c + C_1)}{G_{eq1}}})

以下是一个示例：对于图 8.15 的级联放大器，已知 (R_A = 15 KΩ)，(R_B = 3.3 KΩ)，(R_2 = 2.6 KΩ)，(R_3 = 0.68 KΩ)，(R_4 = 0.5 KΩ)，静态集电极电流 (I_C = 4 mA)，(β = 100)，(r_b’ = 50 Ω)，(C_C = 4 pF)，(f_T = 100 MHz)，输出电阻 (r_o) 很大可忽略。
- 计算 (g_m = 40I_C = 40×4×10^{-3} = 0.16 Ω^{-1})
- (r_{be} = \frac{β}{g_m} = \frac{100}{0.16} = 625 Ω)
- (C_E = \frac{g_m}{ω_T} = \frac{0.16}{2π×10^8} = 255 pF)
- (G_{eq3} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_4} = \frac{1}{2.6×10^3} + \frac{1}{0.5×10^3} = 2.4 mΩ^{-1})
- 第二级中频电流增益 (A_{m2} = g_m\frac{1}{G_{eq3}} = 0.16\frac{1}{2.4×10^{-3}} = 67)
- 第二级米勒效应电容 (C_2 = (1 + A_{m2})C_C = (1 + 67)×4 = 272 pF)
- (G_{eq2} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{r_{be}} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{15×10^3} + \frac{1}{3.3×10^3} + \frac{1}{50} + \frac{1}{2.6×10^3} = 2.4 mΩ^{-1})
- (A_{c2} = -67\frac{1}{1 + j\frac{ω}{4.5}})（频率以兆弧度/秒表示），或 (A_{c2} = -67\frac{1}{1 + j\frac{f}{0.72}})（频率以 MHz 表示）
- 第一级中频电流增益 (A_{m1} = g_m\frac{1}{G_{eq2}} = 0.16\frac{1}{2.4×10^{-3}} = 67)
- 第一级米勒效应电容 (C_1 = (1 + A_{m1})C_C = (1 + 67)×4 = 272 pF)
- (G_{eq1} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B} + \frac{1}{r_{be}} = \frac{1}{15×10^3} + \frac{1}{3.3×10^3} + \frac{1}{625} = 2 mΩ^{-1})
- (A_{c1} = -80\frac{1}{1 + j\frac{ω}{3.8}})（频率以兆弧度/秒表示），或 (A_{c1} = -80\frac{1}{1 + j\frac{f}{0.60}})（频率以 MHz 表示）
- 总电流增益 (A_c = A_{c1}A_{c2} = 5360\frac{1}{(1 + j\frac{f}{0.60})(1 + j\frac{f}{0.72})})

级联放大器在低频时的特性受耦合和旁路电容影响。以图 8.17 的 RC 耦合放大器为例，输出端耦合电容的影响可通过电流分配公式确定：
- (I_4 = \frac{R_2}{R_2 + R_4 + \frac{1}{jωC_4}} \cdot I_3 = \frac{R_2}{R_2 + R_4} \cdot \frac{jω/ω_4}{1 + jω/ω_4} \cdot I_3)，其中 (ω_4 = \frac{1}{C_4(R_2 + R_4)})

为简化增益表达式，选择电容使低频半功率点由 (C_4) 决定，此时 (C_3) 相当于短路。电流增益的完整表达式为：
(A_C = -\frac{A_m}{1 + k_3} \cdot \frac{1 + jω/ω_3}{1 + j\frac{ω}{(1 + k_3)ω_3}} \cdot \frac{jω/ω_5}{1 + jω/ω_5})
其中 (ω_3 = \frac{1}{R_3C_3})，(A_m = \frac{βR_1’}{R_1 + r_n})，(k_3 = \frac{(1 + β)R_3}{R_1’ + r_n})，(ω_5 = \frac{1}{R_{eq}C_4})，通常 (R_{eq} ≈ (1 + β)R_3)，所以 (ω_5 ≈ \frac{1}{(R_1 + R_2)C_4})。

以下是一个示例：对于图 8.18 的级联晶体管放大器，已知 (R_A = 56 KΩ)，(R_B = 12 KΩ)，(R_2 = 6.8 KΩ)，(R_3 = 2.2 KΩ)，(R_4 = 1 KΩ)，静态集电极电流 (I_C = 1 mA)，(β = 200)，(r_b’ = 200 Ω)，(C_C = 20 pF)，(f_T = 8 MHz)，输出电阻 (r_o) 很大可忽略。
- 计算 (R_1 = \frac{R_AR_B}{R_A + R_B} = \frac{56×12}{56 + 12} = 9.9 KΩ)
- ((1 + β)R_3 = (1 + 200)×2.2 = 442 KΩ)
- (g_m = 40I_C = 40×1×10^{-3} = 40 mΩ^{-1})
- (r_{be} = \frac{β}{g_m} = \frac{200}{40×10^{-3}} = 5 KΩ)
- (r_n = r_b’ + r_{be} = 200 + 5000 = 5.2 KΩ)
- (R_1’ = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = \frac{9.9×6.8}{9.9 + 6.8} = 4.0 KΩ)
- (k_3 = \frac{(1 + β)R_3}{R_1’ + r_n} = \frac{442}{4.0 + 5.2} = 48.1)
- 已知输出端耦合电容的转折频率为 16 Hz，则 (C_4 = \frac{1}{(R_2 + R_4)ω_4} = \frac{1}{(6.8 + 1)×10^3×2π×16} = 1.28 µF)
- 已知级间耦合网络的最高转折频率为 160 Hz，则 (f_3 = \frac{160}{1 + k_3} = \frac{160}{49.1} = 3.33 Hz)，(ω_3 = 2πf_3 = 21 rad/s)，(C_3 = \frac{1}{ω_3R_3} = \frac{1}{21×2.2×10^3} = 21.6 µF)
- 级间耦合电容 (C_4) 的转折频率至少为 (ω_3)，则 (C_4 = \frac{1}{(R_1 + R_2)ω_5} = \frac{1}{(9.9 + 6.8)×10^3×21} = 2.85 µF)

可以使用以下 MATLAB 脚本简化所有示例和练习的计算并绘制总电流增益：

w=1:10:10^5; RA=56000; RB=12000; R2=6800; R3=2200; R4=1000;
beta=200; rbprime=200; Ic=10^(−3); f4=16; w4=2*pi*f4;
R1=RA*RB/(RA+RB); R1prime=R1*R2/(R1+R2); gm=40*Ic; rbe=beta/gm;
rn=rbprime+rbe; k3=(1+beta)*R3/(R1prime+rn); f3=160/(1+k3);
w3=2*pi*f3; C3=1/(w3*R3); w5=w3; C4b=1/((R2+R4)*w4);
C4d=1/((R1+R2)*w5); Am=beta*R1prime/(rn+R1prime);
Acnum=(Am.*(1+j.*w./w3).*(j.*w./w5));
Acden=(1+k3).*(1+j.*w./((1+k3).*w3)).*(1+j.*w./w5);
Ac=Acnum./Acden; AcdB=20.*log10(abs(Ac));
fprintf(' \n'); fprintf('RA = %2.2f K \t',RA/1000); fprintf(' \n');
fprintf('RB = %2.2f K \t',RB/1000); fprintf(' \n');
fprintf('R2 = %2.2f K \t',R2/1000); fprintf(' \n');
fprintf('R3 = %2.2f K \t',R3/1000); fprintf(' \n');
fprintf('R4 = %2.2f K \t',R4/1000); fprintf(' \n');
fprintf('R1 = %2.2f K \t',R1/1000); fprintf(' \n');
fprintf('R1prime = %2.2f K \t',R1prime/1000); fprintf(' \n');
fprintf('rbprime = %2.2f K \t',rbprime/1000); fprintf(' \n');
fprintf('rbe = %2.2f K \t',rbe/1000); fprintf(' \n');
fprintf('rn = %2.2f K \t',rn/1000); fprintf(' \n');
fprintf('Ic = %2.2f mA \t',Ic*1000); fprintf(' \n');
fprintf('beta = %2.0f \t',beta); fprintf(' \n');
fprintf('f4 = %2.2f Hz \t',f4); fprintf(' \n');
fprintf('w4 = %2.2f rps \t',w4); fprintf(' \n');
fprintf('C4b = %2.2f microF \t',C4b*10^6); fprintf(' \n');
fprintf('gm = %2.2f mmho \t',gm*1000); fprintf(' \n');
fprintf('k3 = %2.2f \t',k3); fprintf(' \n');
fprintf('f3 = %2.2f Hz \t',f3); fprintf(' \n');
fprintf('w3 = %2.2f rps \t',w3); fprintf(' \n');
fprintf('C3 = %2.2f microF \t',C3*10^6); fprintf(' \n');
fprintf('w5 = %2.2f rps \t',w5); fprintf(' \n');
fprintf('C4d = %2.2f microF \t',C4d*10^6); fprintf(' \n');
fprintf('Am = %2.2f \t',Am); fprintf(' \n');

综上所述，晶体管放大器在不同频率下的特性受多种因素影响，包括电容、电阻和晶体管参数等。通过合理设计电路参数和选择合适的电容，可以实现所需的频率响应和放大倍数。在实际应用中，可根据具体需求选择单级或级联放大器，并结合 MATLAB 等工具进行分析和设计。

晶体管放大器频率特性解析（下半部分）

4. 低频特性总结与对比

为了更清晰地理解晶体管放大器在低频下的特性，我们对前面涉及的关键参数和特性进行总结和对比。

参数	含义	计算方法	示例值
(A_m)	中频放大倍数	(A_m = \frac{βR_1}{R_1 + r_n})	示例中为 18
(ω_3)	转折频率	(ω_3 = \frac{1}{R_3C_3})	示例中为 400 rad/sec
(k_3)	系数	(k_3 = \frac{(1 + β)R_3}{R_1 + r_n})	示例中为 5.4
((1 + k_3)ω_3)	另一个转折频率相关值	((1 + k_3)ω_3)	示例中为 2560 rad/sec

从这些参数可以看出，不同的电阻和电容值会对放大器的低频特性产生显著影响。例如，增大 (R_3) 或减小 (C_3) 会使 (ω_3) 减小，从而改变转折频率的位置。

下面是低频特性的一个简单 mermaid 流程图：

graph LR
    A[输入信号] --> B[电容 \(C_3\) 影响]
    B --> C{频率范围}
    C -->|低频| D[增益受影响]
    C -->|中频| E[增益接近 \(A_m\)]
    D --> F[根据 \(ω_3\) 和 \((1 + k_3)ω_3\) 变化]

5. 高频特性总结与对比

同样，对于高频特性，我们也进行总结和对比。

参数	含义	计算方法	示例值
(A_m)	中频电流增益	(A_m = \frac{r_o}{r_o + R_2}g_mR_{eq})	示例中为 74
(ω_1)	半功率频率	(ω_1 = \frac{1}{R_{eq}C_{eq}})	示例中通过计算得出
((1 + A)C_c)	米勒效应电容	((1 + A)C_c)，(A = g_mR_2)	示例中为 603 pF

高频时，寄生电容 (C_c) 和 (C_e) 以及米勒效应电容对放大器的性能影响较大。例如，米勒效应电容的增大可能会导致放大器的带宽变窄。

高频特性的 mermaid 流程图如下：

graph LR
    A[输入信号] --> B[寄生电容 \(C_c\) 和 \(C_e\) 影响]
    B --> C{频率范围}
    C -->|高频| D[增益下降]
    C -->|中频| E[增益接近 \(A_m\)]
    D --> F[受 \(ω_1\) 影响]

6. 级联放大器特性总结

级联放大器的设计更为复杂，需要综合考虑多个因素。以下是级联放大器的一些关键特性总结：

• 增益计算 ：总增益是各级增益的乘积，如 (A_c = A_{c1}A_{c2})。
• 电容影响 ：级间耦合电容 (C_4) 和旁路电容 (C_3) 对低频特性影响显著。
• 频率特性 ：在低频和高频时信号传输趋于零，属于带通网络。

下面是级联放大器设计的一个简单步骤列表：
1. 选择合适的电阻值，建立合适的静态工作点。
2. 选择 (C_3) 使幅度特性的转折点出现在信号频段以下的合适位置。
3. 选择 (C_4) 使另一个转折点出现在合适的低频位置。

7. 综合分析与应用建议

综合前面的分析，我们可以得出以下应用建议：

• 单级放大器 ：适用于对放大倍数要求不高，且对频率范围要求较窄的场合。在设计时，根据所需的中频放大倍数和转折频率选择合适的电阻和电容值。
• 级联放大器 ：适用于需要大放大倍数和宽频带的场合。但在设计时需要注意级间耦合电容和旁路电容的选择，以确保在整个频率范围内有较好的性能。

在实际应用中，可以使用 MATLAB 等工具进行仿真和优化。例如，通过修改 MATLAB 脚本中的参数，观察不同参数对放大器性能的影响，从而找到最优的设计方案。

总之，晶体管放大器的频率特性是一个复杂的问题，需要综合考虑电路参数、电容、电阻等多个因素。通过合理的设计和优化，可以实现满足不同需求的放大器。