上海计算机学会 2023年11月月赛 乙组T2 桌式足球（二分 贪心 思维）

第二题：T2桌式足球

标签：二分、贪心、思维
题意：给定一条数轴上$n$个球和$m$个球洞的坐标，球的坐标分别为$x_1,x_2,...,x_n$，球洞的坐标分别为$p_1,p_2,...p_m$。每一轮，可以把所有球整体向左平移一格，或整体右移一格，如果有球经过平移掉入球洞，就会一直待在洞里，后续操作也不会对其有影响，求将所有球落入球洞中，需要的最少操作次数。
（$1\le n,m\le 2\times 10^5,-10^9\le x_i,p_i\le 10^9$，且数据保证没有$x_i=p_j$）
题解：首先，肯定得给这些球和球洞坐标分别从小到大排序。然后观察样例，发现样例是先把所有球往右移动$1$格，再往左移动$4$格最优。

能够想到最终的最少操作次数肯定是：一直往右、一直往左、先往左再往右、先往右再往左 这四种情况中较小次数的那个。

第一步：先去求出每个球分别往左和往右 遇到的第一个球洞的距离，这个部分我们可以通过二分找到第一个大于$x_i$的$p_j$坐标（即第$i$个球右边第一个球洞位置），因为题目中保证没有$x_i=p_j$，找到的$p_{j-1}$是第$i$球左边遇到的第一个球洞位置。如果球的左边或者右边没有球洞，我们设置一下距离无穷大（因为左边或者右边没有球洞，往没有球洞的方向去移动其实没有意义）。

第二步：我们得去考虑 先往左再往右，是不是直接考虑 每个球中往左的距离最大值，再加上每个球中往右的距离最大值即可；发现这个思路其实有问题，因为准备去加的往右的距离最大值的球 可能往左的时候已经掉到球洞里面了。

所以，我们可以二分的时候存每个球离它左/右（$l/r$）第一个球洞的距离放入结构体数组$a$中，我们可以先按$a[i].l$从小到大排序；然后先跑个后缀，求出第$i$个球到第$n$个球中$a[i].r$最大值。

再从前往后枚举一下每个球，因为排序的问题，对于第$i$个球来说，在它之前的球肯定会在往左$a[i].l$的距离下掉入左边的洞；移过去还得移回来，这部分距离得算两次（$2\ast a[i].l$），然后剩下来就得加上第$i+1$到第$n$个球中往右边的最大距离了（这个我们之前维护了一个后缀$suf[i+1]$）。
式子：$ans=min(ans,2\ast a[i].l+suf[i+1])$

第三步：求先往右再往左的，和第二步类似（按$a[i].r$从小到大排序），$suf$要重新维护一下，我这边就直接给出式子了。
式子：$ans=min(ans,2\ast a[i].r+suf[i+1])$
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll INF = 1e15;
struct node {
    // l/r: 每个球离其 左边/右边 最近球洞的距离
    ll l, r;
}a[200005];

ll n, m, ans = INF;
ll x[200005], p[200005], suf[200005];

bool cmp1(node k1, node k2) {
    return k1.l < k2.l;
}

bool cmp2(node k1, node k2) {
    return k1.r < k2.r;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> x[i];
    for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> p[i];

    sort(x + 1, x + 1 + n);
    sort(p + 1, p + 1 + m);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll k = upper_bound(p + 1, p + 1 + m, x[i]) - p;
        a[i].l = x[i] - p[k - 1];
        a[i].r = p[k] - x[i];
        if (k == 1) a[i].l = INF;
        else if (k == m + 1) a[i].r = INF;
    }

    // 先按l从小到大排序 维护一个后缀最大值r
    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp1);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        suf[i] = max(suf[i + 1], a[i].r);
    }
    // 先往左再往右或直接往右 i=0表示直接往右
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        ans = min(ans, 2 * a[i].l + suf[i + 1]);
    }

    sort(a + 1, a + 1 + n, cmp2);
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        suf[i] = max(suf[i + 1], a[i].l);
    }
    // 先往右再往走或直接往左 i=0表示直接往左
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        ans = min(ans, 2 * a[i].r + suf[i + 1]);
    }

    cout << ans;
    return 0;
}