USACO 2024年2月铜组 MILK EXCHANGE（思维 倍增）

第二题：MILK EXCHANGE

标签：思维、倍增
题意：给定$N$个数围成环。第$i$个右边是第$i+1$，左边是第$i-1$。特殊的是第$1$个数 左边是第$N$个数，第$N$个数右边是第$1$个数。初始 第$i$个数为$a_i$。给定一个字符串$s_1,s_2,...s_n$，对于第$i$个字符$s_i$要么为$L$，要么为$R$。对于$s_i=L$的情况下，$a_i$每分钟传递$1$的值给左边；对于$s_i=R$的情况下，$a_i$每分钟传递$1$的值给右边。传递都是同时进行的。
传递的过程如果如果值超过了 初始的$a_i$将会溢出，求经过$M$分钟之后 这些所有数值之和为多少。
（$1\le N\le 2\ast 10^5，1\le M，a_i\le 10^9$）
题解：数据很大，模拟每一分钟肯定不现实。我们先观察下一个例子

4 1
RRLL
1 1 1 1

初始$a_i$都是$1$，求第$1$分钟之后 数值之和。
第$1$分钟的时候，$1$往$2$流，$2$往$3$流；$4$往$3$流，$3$往$2$流。我们能发现对于第$2$个和第$3$个来说是没有损失的。但是对于第 $1$个和第$4$个来说损失了$1$。

推一推能看出来，对于$RRRRLLLLLL$的，左边连续$R$和右边连续$L$都是流向中间$RL$的地方，然后分别溢出的。那溢出多少呢？是不是和时间$M$相关。那我们其实就去把所有的$RL$找到，然后往左和往右，两边连续的$R$和$L$分别溢出$M$减去，再求下和即可。注意特判一下全$L$和全$R$的情况。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N = 2e5 + 10;
string s;
ll cntl = 0, cntr = 0;
ll a[N], n, m, ans = 0, sum = 0;

int main() {
    cin >> n >> m;
    cin >> s;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
        if (s[i - 1] == 'L') cntl++;
        else cntr++;
        a[i + n] = a[i + 2*n] = a[i]; // 倍增
    }

    if (cntl == n || cntr == n) {
        cout << sum << endl;
        return 0;
    }

    s = "@" + s + s + s; // 环 倍增处理
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (s[i] == 'R' && s[i + 1] == 'L') {
            ll l = i + n, r = i + 1 + n;
            ll suml = 0, sumr = 0;
            while (l > 1 && s[l - 1] == 'R') {
                l--;
                suml += a[l];
            }
            while (r < 3 * n && s[r + 1] == 'L') {
                r++;
                sumr += a[r];
            }
            // m轮之后 左边连续L剩余的 + 右边连续R剩余的
            ll leave = max(suml - m, 0ll) + max(sumr - m, 0ll);
            ans += a[i] + a[i + 1] + leave; // i和i+1位置牛奶量不变保留
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}