USACO 2024年1月铜组 BALANCING BACTERIA（思维、差分）

信息学奥赛-王老师

已于 2024-02-21 17:54:21 修改

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分类专栏：题目题解文章标签：算法 c++ 数据结构深度优先图论动态规划

于 2024-02-21 09:00:00 首次发布

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本文介绍了一种通过差分数组和迭代操作策略，找到将一系列数变为零所需的最少操作次数的方法，适用于IT技术中的算法优化挑战。

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第三题：BALANCING BACTERIA

标签：思维、差分

题意：给定 $n$ 个数， $a_1,a_2,a_3...a_n$ ，每次操作可以选择数字 $L （ 1 <= L <= n ）$ ，并选择增加或者减少。
比如增加的情况，从第 $n$ 个数开始，第 $n$ 个数增加 $L$ ，第 $n - 1$ 个数增加 $L - 1$ ，第 $n - 2$ 个数增加 $L - 2$ …，依次类推，直到增加值为 $0$ ，再往前就不增加（即第 $1$ 个到第 $n - L$ 个数不增加值）
求将所有数变成 $0$ 的最少操作次数。（ $1<=n<=2*10^5,10^{-15}<=a_i<=10^{15}$ ）

举个例子：比如有两个数 $3-1\ \ \ 3$
可以先从选择数字 $L = 1$ 并进行减少，操作 $5$ 次，把序列变成： $−2-1\ \ \ \ -2$
然后选择数字 $L = 2$ ，并进行增加，操作 $1$ 次，把序列变成： $00\ \ \ 0$ 。总共 $6$ 次操作。

题解：以样例 $2$ 为例，有 $5$ 个数： $51\ \ \ 3 \ \ -2 \ \ -7 \ \ \ 5$
我们维护一个差分数组 $b_i$ 为 $a_i-a_{i-1}$ ： $121\ \ \ 2 \ \ -5 \ \ -5 \ \ \ 12$
这个差分数组表示原 $a$ 数组中相邻两个数的差值，我们额外对 $i = 1$ 的时候求 $b_1=a_1-a_0$ ， $a_0=0$ 。
再对差分数组 $b_i$ 做差分， $c_i=b_i-b_{i-1}$ ： $\ \ 1 \ \ -7 \ \ 0 \ \ 17$

原 $a_i$ : $51\ \ \ 3 \ \ -2 \ \ -7 \ \ \ 5$
第 $1$ 轮 $a_i$ ： $0-1\ -2\ -3\ -4 \ -5=> 0\ \ \ 1 \ \ -5 \ \ -11 \ \ \ 0$ （操作次数 $+ 1$ ）
第 $2$ 轮 $a_i$ ： $−40\ -1\ -2\ -3 \ -4=> 0\ \ \ 0 \ \ -7 \ \ -14 \ \ \ -4$ （操作次数 $+ 1$ ）
第 $3$ 轮 $a_i$ ： $170\ 0\ 1\ 2 \ 3=> 0\ \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ \ 17$ （操作次数 $+ 7$ ）
第 $4$ 轮 $a_i$ ： $170\ 0\ 0\ 0 \ 0=> 0\ \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ \ 17$ （操作次数 $+ 0$ ）
第 $5$ 轮 $a_i$ ： $00\ 0\ 0\ 0 \ -1=> 0\ \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ \ 0$ （操作次数 $+ 17$ ）

我们能够发现每次归 $0$ 的操作次数就是对应 $c_i$ 的绝对值。其实就是对 $b_i$ 进行差分，得到每个对应的后缀需要修改多少。
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
typedef long long ll;
ll a[N], b[N], n, ans = 0;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i] - a[i - 1]; // 差分
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans += abs(b[i] - b[i - 1]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}