USACO 2024年1月铜组 BALANCING BACTERIA(思维、差分)

本文介绍了一种通过差分数组和迭代操作策略,找到将一系列数变为零所需的最少操作次数的方法,适用于IT技术中的算法优化挑战。

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第三题:BALANCING BACTERIA

标签:思维、差分

题意:给定nnn个数,a1,a2,a3...ana_1,a_2,a_3...a_na1,a2,a3...an,每次操作 可以选择数字 L(1<=L<=n)L(1<=L<=n)L1<=L<=n,并选择增加或者减少。
比如增加的情况,从第nnn个数开始,第nnn个数增加LLL,第n−1n-1n1个数增加L−1L-1L1,第n−2n-2n2个数增加L−2L-2L2…,依次类推,直到增加值为000,再往前就不增加(即第111个到第n−Ln-LnL个数不增加值)
求将所有数变成 000的最少操作次数。(1<=n<=2∗105,10−15<=ai<=10151<=n<=2*10^5,10^{-15}<=a_i<=10^{15}1<=n<=2105,1015<=ai<=1015

举个例子:比如有两个数 −1   3-1\ \ \ 31   3
可以先从选择数字L=1L=1L=1并进行减少,操作555次,把序列变成:−1    −2-1\ \ \ \ -21    2
然后选择数字L=2L=2L=2,并进行增加,操作111次,把序列变成:0   00\ \ \ 00   0。总共666次操作。

题解:以样例222为例,有555个数:1   3  −2  −7   51\ \ \ 3 \ \ -2 \ \ -7 \ \ \ 51   3  2  7   5
我们维护一个差分数组bib_ibiai−ai−1a_i-a_{i-1}aiai11   2  −5  −5   121\ \ \ 2 \ \ -5 \ \ -5 \ \ \ 121   2  5  5   12
这个差分数组表示原aaa数组中相邻两个数的差值,我们额外对i=1i=1i=1的时候求b1=a1−a0b_1=a_1-a_0b1=a1a0a0=0a_0=0a0=0
再对差分数组bib_ibi做差分,ci=bi−bi−1c_i=b_i-b_{i-1}ci=bibi11  1  −7  0  171 \ \ 1 \ \ -7 \ \ 0 \ \ 171  1  7  0  17

aia_iai:1   3  −2  −7   51\ \ \ 3 \ \ -2 \ \ -7 \ \ \ 51   3  2  7   5
111aia_iai−1 −2 −3 −4 −5=>0   1  −5  −11   0-1\ -2\ -3\ -4 \ -5=> 0\ \ \ 1 \ \ -5 \ \ -11 \ \ \ 01 2 3 4 5=>0   1  5  11   0 (操作次数+1+1+1
222aia_iai0 −1 −2 −3 −4=>0   0  −7  −14   −40\ -1\ -2\ -3 \ -4=> 0\ \ \ 0 \ \ -7 \ \ -14 \ \ \ -40 1 2 3 4=>0   0  7  14   4 (操作次数+1+1+1
333aia_iai0 0 1 2 3=>0   0  0  0   170\ 0\ 1\ 2 \ 3=> 0\ \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ \ 170 0 1 2 3=>0   0  0  0   17 (操作次数+7+7+7
444aia_iai0 0 0 0 0=>0   0  0  0   170\ 0\ 0\ 0 \ 0=> 0\ \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ \ 170 0 0 0 0=>0   0  0  0   17 (操作次数+0+0+0
555aia_iai0 0 0 0 −1=>0   0  0  0   00\ 0\ 0\ 0 \ -1=> 0\ \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ \ 00 0 0 0 1=>0   0  0  0   0 (操作次数+17+17+17

我们能够发现每次归000的操作次数就是对应cic_ici的绝对值。其实就是对bib_ibi进行差分,得到每个对应的后缀需要修改多少。
代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;
typedef long long ll;
ll a[N], b[N], n, ans = 0;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        b[i] = a[i] - a[i - 1]; // 差分
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans += abs(b[i] - b[i - 1]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
### 关于202412月USACO比赛题目解答 #### 问题背景与概述 针对202412月USACO的比赛,具体题目细节尚未公布。然而,基于以往的经验和模式,可以推测该次竞赛可能涉及的基础算法概念以及解决问题的方法。 #### 使用双数存储信息 当遇到需要多次访问同一元素的情况时,采用两个独立的数分别记录这些元素的信息是一种有效策略[^1]。这种方法特别适用于那些具有重复操作特性的场景,能够简化逻辑并提高效率。 #### 清零机制的应用 对于某些特定条件下使用的临时变量或辅助结构(比如计数器`num`),适时地将其重置为初始状态是非常重要的。这有助于防止前一次计算残留影响后续的结果准确性。 #### 时间复杂度考量 考虑到实际应用场景中的数据规模较小,即使实现较为复杂的$O(n^2)$甚至更高阶的时间复杂度算法也是可行的选择。这是因为小量级的数据集使得高时间复杂度带来的性能损耗变得微不足道。 #### 枚举法解决交互型游戏类问题 面对像“Why Did the Cow Cross the Road II”这样的互动式博弈论问题,可以通过枚举所有可能性来进行模拟推演。例如,在两轮游戏中根据不同角色的行为合来预测最终得分情况,并据此得出最优解路径[^2]。 #### 动态规划求解资源分配优化模型 以“最小化草地数量”的挑战为例,通过设定动态转移方程,逐步构建起从局部到全局的最佳解决方案框架。这里的关键在于合理定义状态表示方法及其之间的转换关系,从而确保找到满足约束条件下的最优点[^3]。 #### 特殊规则下胜负判定逻辑设计 在类似于“贝茜和朋友玩的游戏”这类含有特殊胜利条件的任务里,重点是要理解规则背后的数学原理。利用回文特性作为判断依据之一,配合其他因素综合考虑,进而形成一套完整的决策流程用于确定胜者身份[^4]。 #### 处理大规模输入输出技巧 针对较大规模的数据处理需求,如岛屿面积统计等问题,则需引入诸如离散化技术等高级手段加以应对。通过对原始坐标系内的点位进行适当变换映射成新的有序序列,既减少了内存占用又加快了运算速度[^5]。 ```python def solve_palindrome_game(T, samples): results = [] for sample in samples: stones = list(map(int, str(sample))) while sum(stones) > 0 and is_palindromic(sum(stones)): # Bessie takes palindromic number of stones first taken_by_bessie = find_largest_palindrome_less_than_or_equal_to(sum(stones)) stones -= [taken_by_bessie] if sum(stones) == 0: break # Friend then takes remaining stones which must be non-palindromic now friend_takes_rest() winner = 'B' if sum(stones)==0 else 'E' results.append(winner) return ''.join(results) def is_palindromic(num): num_str = str(abs(num)) reversed_num_str = num_str[::-1] return num_str == reversed_num_str def find_largest_palindrome_less_than_or_equal_to(max_value): for i in range(max_value, 0, -1): if is_palindromic(i): return i def friend_takes_rest(): pass # Example usage with multiple test cases represented by T=3 here. print(solve_palindrome_game(3,[7, 9, 1])) ```
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