Bzoj2395: [Balkan 2011]Timeismoney(最小乘积生成树)

问题描述

每条边两个权值 $x,y$，求一棵 $(\sum x) \times (\sum y)$ 最小的生成树

Sol

把每一棵生成树的权值 $\sum x$ 和 $\sum y$ 看成平面上的一个点 $(X,Y)$

那么就是要求 $X \times Y$ 最小

设 $k=X \times Y$，则 $Y = \frac{k}{X}$

也就是要求这个反比例函数最靠近坐标轴

我们知道了 $X$ 最小和 $Y$ 最小的答案(两遍最小生成树)

设这两个点为 $A,B$

那么就是要在 $AB$ 这条直线的左边找到一个距离最远的点 $C$ 来更新当前答案

也就是向量 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 叉积最小(为负数，也就是面积)

即 $(Bx-Ax)\times (Cy-Ay)-(Cx-Ax) \times (By-Ay)$ 最小

化简就是 $(Bx-Ax)\times Cy-(By-Ay)\times Cx+...$ (省略号为常数)

那么每条边改一下权值为 $(Bx-Ax)\times y-(By-Ay)\times x$

然后求一遍最小生成树求出 $C$，递归处理 $AC$ 和 $CB$ 即可

p.s: 最小乘积匹配也可以这么做

# include <bits/stdc++.h>
# define IL inline
# define RG register
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
# define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
using namespace std;
typedef long long ll;

IL int Input(){
    RG char c = getchar(); RG int x = 0, z = 1;
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    return x * z;
}

const int maxn(205);
const int maxm(1e4 + 5);
const int inf(1e9);

int n, m, fa[maxn];

struct Point{
    int x, y;

    IL Point operator -(RG Point b) const{
        return (Point){x - b.x, y - b.y};
    }

    IL Point operator +(RG Point b) const{
        return (Point){x + b.x, y + b.y};
    }

    IL int operator *(RG Point b) const{
        return x * b.y - y * b.x;
    }

    IL int operator <(RG Point b) const{
        return x * y != b.x * b.y ? x * y < b.x * b.y : x < b.x;
    }
} ans, mnc, mnt;

struct Edge{
    int u, v, w, c, t;

    IL int operator <(RG Edge b) const{
        return w < b.w;
    }
} edge[maxm];

IL int Find(RG int x){
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = Find(fa[x]);
}

IL Point Kruskal(){
    for(RG int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i;
    RG Point ret = (Point){0, 0};
    sort(edge + 1, edge + m + 1);
    for(RG int i = 1, t = 0; t < n - 1 && i <= m; ++i){
        RG int u = Find(edge[i].u), v = Find(edge[i].v);
        if(u != v) fa[u] = v, ++t, ret = ret + (Point){edge[i].c, edge[i].t};
    }
    ans = min(ans, ret);
    return ret;
}

IL void Solve(RG Point a, RG Point b){
    RG int x = b.y - a.y, y = b.x - a.x;
    for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i].w = y * edge[i].t - x * edge[i].c;
    RG Point ret = Kruskal();
    if((b - a) * (ret - a) >= 0) return;
    Solve(a, ret), Solve(ret, b);
}

int main(RG int argc, RG char* argv[]){
    File("2395");
    ans = (Point){inf, 1}, n = Input(), m = Input();
    for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i] = (Edge){Input() + 1, Input() + 1, 0, Input(), Input()};
    for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i].w = edge[i].c;
    mnc = Kruskal();
    for(RG int i = 1; i <= m; ++i) edge[i].w = edge[i].t;
    mnt = Kruskal();
    Solve(mnc, mnt);
    printf("%d %d\n", ans.x, ans.y);
    return 0;
}