22、数字与矩阵相关算法解析

数字与矩阵相关算法解析

1. 快速幂运算

1.1 定义

给定两个数 (a) 和 (b)，我们希望计算 (a^b)。由于结果可能非常大，通常会要求对给定整数 (p) 取模进行计算，但这并不改变问题的本质。

1.2 算法复杂度 (O(\log b))

简单的方法是进行 (b - 1) 次乘以 (a) 的操作。但我们可以利用 (a^{2^k} \cdot a^{2^k} = a^{2^{k + 1}}) 的关系，快速计算 (a^{1}, a^{2}, a^{4}, a^{8}, \cdots) 形式的幂。通过根据 (b) 的二进制分解组合这些值来计算 (a^b)。

例如：
(a^{13} = a^{8 + 4 + 1} = a^8 \cdot a^4 \cdot a^1)

以下是实现代码：

def fast_exponentiation(a, b, q):
    assert a >= 0 and b >= 0 and q >= 1
    result = 1
    while b:
        if b % 2 == 1:
            result = (result * a) % q
        a = (a * a) % q
        b >>= 1
    return result

1.3 变体

该技术也可应用于矩阵乘法。设 (A) 是一个矩阵，(b) 是一个正整数，快速幂运算可以仅用 (O(\l