20、几何图形的测量与算法应用

几何图形的测量与算法应用

在几何领域中，对于多边形和矩形等图形的测量与分析有着广泛的应用。下面将详细介绍多边形的各种测量方法、最近点对问题、简单矩形多边形的判断以及矩形相关问题的算法。

1. 多边形的测量

对于一个以正常方向（逆时针）排列的 n 个点列表形式表示的简单多边形（边不相交），有几个重要的测量指标。

1.1 面积计算

可以使用以下公式在线性时间内计算多边形的面积 A：
[A = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n - 1} (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)]
其中索引 (i + 1) 取模 n。第 i 项对应于三角形 ((0, p_i, p_{i + 1})) 的有符号面积，其符号取决于三角形的方向。通过移除这个三角形，问题就简化为计算边界上少一个点的多边形的面积，因此多边形的面积可以表示为一系列三角形面积的加减运算。

以下是计算多边形面积的 Python 代码：

def area(p):
    A = 0
    for i, _ in enumerate(p):
        A += p[i - 1][0] * p[i][1] - p[i][0] * p[i - 1][1]
    return A / 2.

1.2 边界上的整数点数量

为了简化计算，假设多边形的点具有整数坐标。对于多边形的每个线段 ([a, b])，计算 (a) 和 (b) 之间（不包括 (a) 以避免重复计数）的整数点数量。如果 (x) 是