17、匹配与流问题的深入解析

匹配与流问题的深入解析

1. 最小 s - t 割问题

在一个国家中，有许多道路连接着各个城市。一家铁路公司希望吸引乘客乘坐其连接城市 s 和城市 t 的新铁路线，为此想在某些道路旁放置广告牌，使得从 s 到 t 的每一次行程都必须经过其中一块广告牌，目标是使广告牌的数量最少。

定义

该问题的一个实例由一个有向图 (G(V, A)) 组成，其中包含两个不同的顶点 (s) 和 (t)，并且每条弧都有一个成本 (c: A \to R^+)。一个 s - t 割是一个包含 (s) 但不包含 (t) 的顶点集合 (S \in V)。等价地，割 (S) 有时可以通过离开 (S) 的弧来表示，即 (u \in S) 且 (v \notin S) 的弧 ((u, v))。割的值是这些弧的总成本，目标是找到成本最小的割。

与最大流问题的联系

假设我们将最大流问题的容量 (c) 与最小割问题的成本 (c) 等同起来。每个流都必须穿过割，因此任何割的值都是任何流的值的上界。更重要的是，最大流 - 最小割定理指出，最大流的值等于最小割的值。该定理由 Elias、Feinstein 和 Shannon（1956 年）以及 Ford 和 Fulkerson（1956 年）分别独立证明，证明基于以下几个简单的观察：
1. 对于一个流 (f)，离开割 (S) 的流量 (f(S) = \sum_{u \in S, v \notin S} f(u, v)) 对于每个 (S) 都是相同的。
2. 根据公式 (9.3)，有 (f(S) \leq c(S))，即离开 (S) 的流量永远不会大于 (S) 的容量，这证明了定理的一半，即最大流的值至多是最小