理解奇函数和偶函数

奇函数的定义

对于函数f(x)， 如果x是在f(x) 的定义内， 如果任意x ， 都有f(-x) = -f(x) 那么f(x) 是奇函数

数学表达：
$f(-x)=-f(x),x\in D(f)$

很简单

在函数图像里， 奇函数都是对于原点对称

奇函数的例子

1. 一次线性函数

例如$f(x)=2x$

注意的是， $f(x)=2x+n,n\ne 0$ 这个并不是奇函数
明显 $f(-1)=-2+n$ 和 $f(1)=2+n$ 并不是相反的值对

2. 3次函数 $f(x)=x^3$

这个也很明显

3. 反比例函数 $f(x)=x^{-1}$

4. 正弦函数 $f(x)=x^{-1}$

这个波浪线也是原点对称的！

偶函数的定义

对于函数f(x)， 如果x是在f(x) 的定义内， 如果任意x ， 都有f(-x) = f(x) 那么f(x) 是偶函数

数学表达：
$f(-x)=f(x),x\in D(f)$

在函数图像里， 偶函数都是对于y轴对称

偶函数的例子

1. 2次函数 $f(x)=x^2$

注意的是 $f(x)=x^2+n,n\ne 0$ 仍然是偶函数， 因为函数图像上下移动一段距离仍然对于y轴对称
但是 $f(x)=(x+n{)}^2,n\ne 0$ 就不是偶函数了，左右移动不行

2. 绝对值函数 $f(x)=|x|$

3. 余弦函数 $f(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)=\sin (x+\frac{2}{\pi })$

也就将， 正弦函数的图像向左移动半个身位($\frac{2}{\pi }$) , 就由原点对称变成y轴对称， 由奇函数变成偶函数， 由正弦函数变成余弦函数了。