14、激光折射图记录、处理与定量诊断技术解析

激光折射图记录、处理与定量诊断技术解析

1. 加权算法误差分析

在使用激光平面照射屏幕获取折射图时，对其参数确定的误差分析十分关键。折射图中心坐标和倾斜角估计的均方根偏差由以下关系定义：
[
\sigma[\hat{x} 0] = \sqrt{\hat{x}_0^2 - \left(\hat{x}_0\right)^2}, \quad \sigma[\hat{\alpha}] = \sqrt{\hat{\alpha}^2 - \left(\hat{\alpha}\right)^2}
]
其中，(( )) 表示数学期望计算操作。数学期望估计采用 (m = 30) 次模型实验的样本均值：
[
\mu(x_0) = \frac{1}{m} \cdot \sum {i = 1}^{m} (\hat{x} 0)_i, \quad \mu(\alpha) = \frac{1}{m} \cdot \sum {i = 1}^{m} (\hat{\alpha})_i
]
估计的系统误差可通过以下关系得出：
[
b[\hat{x}_0] = \mu[\hat{x}_0] - x_0, \quad b[\hat{\alpha}] = \mu[\hat{\alpha}] - \alpha
]

通过改变模型参数，可以分析其参数估计的误差。以下是不同图像元素数量下，折射图中心坐标和倾斜角估计的系统误差表格：
| 图像元素数量 | 32×32 | 64×64 | 128×128 | 256×256 | 512×512 | 1024×1024 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 中心坐标 (像素) | (x_0 = 16; y_0 = 16) | (x_0 = 32; y_0 = 32) | (x_0 = 64; y_0 = 64) | (x_0 = 128; y_0 = 128) | (x_0 = 256; y_0 = 256) | (x_0 = 512; y_0 = 512) |
| (b[x_0]) (像素) | 0.247 | 0.218 | 0.013 | <0.001 | <0.001 | <0.001 |
| (b[\alpha]) (度) | 0.243 | 0.022 | 0.008 | <0.001 | <0.001 | <0.001 |

从表中数据可以看出，记录折射图时，宜使用像素数量多的 CCD。

对于复杂形状折射图的自动处理，通常需将全帧分解为较小区域。分析这些区域大小对折射图参数估计误差的影响具有实际意义。

在无噪声情况下（方法误差），对坐标 (x_0) 估计偏差与激光平面倾斜角关系的分析表明，随着激光平面倾斜角增大，估计偏差也增大，但偏差绝对值不超过像素的百分之几，因此即使观察窗口尺寸小，坐标估计的方法误差也可忽略。倾斜角 (\alpha) 估计的偏差在较宽范围内也可忽略（约为 (10^{-3}) 度）。

考虑噪声影响的模型中，中心坐标估计偏差可达像素的十分之几，并随倾斜角增大而增大；倾斜角 (\alpha) 估计偏差类似，可达几度，而估计的均方根偏差则小得多。

当模型中激光功率 (P) 固定，图像参数 (A) 成为因变量时，计算参数估计与高斯激光束尺寸 (w_y) 和 (w_x) 的关系很重要。分析表明，增大 (w_x) 会使参数 (x_0) 估计的均方根误差略有增加，这是因为激光功率不变时增大 (w_x) 会降低 CCD 矩阵照明，进而降低折射图的信噪比；增大 (w_y) 会使参数 (x_0) 估计误差略有减小，随机分量对总误差贡献较大。

基于上述分析，可得出以下结论：
1. 记录折射图时，最好使用像素数量多（超过 512×512）的矩阵光接收器。
2. 为减少参数 (x_0) 和 (\alpha) 估计的偏差，在调整探测辐射源和接收器的初始阶段，应减小激光平面倾斜角 (\alpha) 和高斯激光束尺寸 (w_x)。
3. 高斯激光束尺寸 (w_y) 对参数估计误差的影响比 (w_x) 弱；对于每个 CCD 矩阵尺寸，存在一定的 (w_y) 值范围，使参数 (x_0) 计算误差最小；对于 (M = 1024) 和 (N = 1024)，(w_y) 值应在 800 至 1200 像素之间。

2. 数值折射图分析方法

在某些情况下，理论折射图可通过有限元方法进行数值计算。此时不涉及参数化折射图模型，可使用标准方法估计函数偏差来比较实验和理论结果。理论关系以探测激光辐射的几何光学射线与毛玻璃屏幕交点的空间坐标数组形式数值指定。实验折射图通过特殊算法处理，以恢复单个图像元素的轮廓、最大值线、分布中心等，恢复的线类型由实际折射图形状决定。理论和实验结果的符合程度通过几何光学射线与屏幕平面交点坐标与实验图像中恢复线对应点坐标的均方根偏差来估计。

3. 数字折射图记录和处理建议

激光折射系统宜使用专用数字图像记录和处理设备，以高质量记录折射图并读取到计算机内存。例如 Videoscan - 285/B - USB 数字系统，分析其特性可知，正确选择摄像机工作条件很重要，即工作在光传输特性的线性区域，并保持摄像机放大倍数和曝光时间的最佳关系。

需预先确定探测激光辐射的必要功率，使屏幕照明不低于最小允许值，处理折射图的信噪比不低于确保折射图参数估计必要精度的指定值。可通过特定方法近似估计处理图像中的噪声统计特性，根据噪声特性信息，决定是否考虑记录图像的散粒噪声、量化噪声、热产生噪声和电子电路的电噪声拾取，并选择最佳的折射图参数估计算法。

通过光学测试图估计记录系统的分辨率和折射图元素位移估计误差的方法，有助于正确选择摄像机物镜类型和激光折射仪光学系统的其他参数，使激光折射技术达到必要的精度和分辨率。

基于加权方法的处理算法特性研究表明，使用像素数量多的 CCD 矩阵、通过正确调整记录设备减小记录的激光平面倾斜角以及优化激光平面产生的屏幕照明分布的形状和大小是可取的。研究具有径向对称折射率分布的介质时，使用扭曲激光平面图像的椭圆模型较为合适，其参数能以方便紧凑的形式提供有关介质光学不均匀性程度和特征的信息。

当通过有限元方法理论计算折射图时，理论和实验结果的符合程度通过几何光学射线与屏幕平面交点坐标与实验图像中恢复线对应点坐标的均方根偏差来估计。

4. 不均匀性剖面定量诊断原理

结构化激光辐射的离散和规则特性使基于实验折射图对感兴趣介质进行定量诊断成为可能。定量诊断包括解决逆问题，即确定不均匀性参数（若由参数模型指定）或重建其剖面为有限数量的数值。

诊断不均匀性本质上是一个断层扫描问题，通常使用 Radon 积分变换解决。对于轴向对称分布，Radon 变换简化为可解析反演的 Abel 变换，但使用 Abel 积分方程会因反演问题的不适定性而产生问题，因为需要对有噪声的实验数据进行微分并克服被积函数的奇异性。

另一种方法是解决形成给定结构化激光辐射的光线族的直接折射问题，计算相应的折射图，然后对实验折射图进行计算机处理并与理论折射图比较，选择能使理论和实验数据最佳拟合的折射率变化规律。测量误差取决于多种因素，最终的梯度折射率测量精度主要受衍射效应限制，可通过特殊的折射图处理方法消除其影响。

以热边界层折射图分析为例，定量诊断的连续阶段如下：
1. 用 CCD 相机记录边界层的二维折射图。
2. 通过特殊计算机程序处理折射图，以最小化衍射效应。
3. 将数字化的实验折射图与为给定实验设置和典型热层剖面计算的一组库折射图进行比较。
4. 根据最小均方根偏差准则，选择最适合实验折射图的理论折射图。
5. 将所选理论折射图对应的剖面作为实验获得的温度剖面。

这种解决透明光学不均匀性中折射率场重建逆问题的方法，可避免对有噪声实验数据进行 Abel 方程反演的问题。折射技术不仅能重建体不均匀性的折射率场，还能重建薄边界层的折射率场，且可在非平稳条件下进行。此外，利用建立折射率与介质其他参数关系的本构方程，可诊断影响介质折射率的物理参数场。

5. 基于平面 SLR 折射图的球形边界层温度场重建算法

该算法基于平面结构化激光辐射的实验折射图，连续重建液体中的折射率和温度场。实验设置的示意图给出了几何尺寸，用于计算激光平面在研究不均匀性中的折射。

该算法的核心是将为给定实验设置参数计算的理论激光平面折射图与经过特殊处理的实验折射图进行比较。

算法流程如下：
1. 模块 1：实验折射图预处理
- 将获得的图像表示为一组数字数据。
- 在 Matcad 或 Matlab 环境中构建折射图。
- 基于样条函数对其进行平滑处理。

graph TD;
    A[开始] --> B[实验折射图];
    B --> C[转换为数字函数 f(xi)];
    C --> D[转换为数字形式 f(xi, yi)];
    D --> E[数据平滑，查找最大值];
    E --> F[结束];

2. 模块 2：数据处理与单位转换
   • 对数字函数 (f(x_i)) 进行滤波。
   • 进行数据滤波、位移操作和旋转操作。
   • 将测量单位从像素转换为毫米。

graph TD;
    A[开始] --> B[数据 f(xi)，比例（像素/毫米）];
    B --> C[数字函数滤波];
    C --> D[数据滤波、位移操作];
    D --> E[旋转角度 α 操作];
    E --> F[单位转换（像素到毫米）];
    F --> G[结束];

3. 模块 3：折射图比较
   • 输入典型不均匀性参数 (\Delta T)、(\Delta R)、(a) 的初始值。
   • 计算实验和理论参数值的最小偏差。
   • 根据最小均方根偏差准则选择使理论折射图最适合实验折射图的典型不均匀性参数。

graph TD;
    A[开始] --> B[输入参数 ΔT, ΔR, a 初始值];
    B --> C[计算实验和理论值的最小偏差];
    C --> D{min ≤ mini};
    D -- 是 --> E[更新 min, ΔT, ΔR, a, I, j, k];
    D -- 否 --> F[更新 i, j, k];
    E --> G[结束];
    F --> C;

4. 模块 4：剖面重建
   • 输入所选不均匀性模型的参数。
   • 直接重建层中的折射率或温度剖面。

graph TD;
    A[输入所选模型参数] --> B[重建折射率或温度剖面];

通过以上算法和流程，可实现球形边界层温度场的有效重建。

激光折射图记录、处理与定量诊断技术解析

6. 算法各模块详细分析

6.1 模块 1：实验折射图预处理

模块 1 的主要目的是将实验得到的折射图转化为便于后续处理和分析的数字形式，并进行平滑处理以减少噪声影响。具体操作步骤如下：
1. 图像数字化 ：将实验获得的折射图图像转换为一组数字数据，这样可以在计算机中进行进一步的处理。
2. 环境构建 ：在 Matcad 或 Matlab 环境中构建折射图，这两个软件具有强大的数学计算和图形处理能力，方便后续的分析。
3. 平滑处理 ：基于样条函数对折射图进行平滑处理，样条函数能够在保证数据整体趋势的前提下，有效地减少数据中的噪声和波动。

该模块的流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[实验折射图];
    B --> C[转换为数字函数 f(xi)];
    C --> D[转换为数字形式 f(xi, yi)];
    D --> E[数据平滑，查找最大值];
    E --> F[结束];

6.2 模块 2：数据处理与单位转换

模块 2 主要对模块 1 输出的数字化数据进行进一步处理，使其能够与理论折射图进行比较。具体操作步骤如下：
1. 滤波操作 ：对数字函数 (f(x_i)) 进行滤波，去除数据中的噪声干扰，提高数据的质量。
2. 位移和旋转操作 ：由于实验过程中可能存在图像的位移和旋转，需要对数字化的实验折射图进行相应的位移和旋转操作，使其能够与理论折射图进行准确的比较。
3. 单位转换 ：将测量单位从像素转换为毫米，因为理论折射图中光线的位移通常以毫米为单位，统一单位便于进行准确的比较。

该模块的流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[数据 f(xi)，比例（像素/毫米）];
    B --> C[数字函数滤波];
    C --> D[数据滤波、位移操作];
    D --> E[旋转角度 α 操作];
    E --> F[单位转换（像素到毫米）];
    F --> G[结束];

6.3 模块 3：折射图比较

模块 3 的核心是通过比较实验折射图和理论折射图，找到最适合实验数据的典型不均匀性参数。具体操作步骤如下：
1. 参数输入 ：输入典型不均匀性参数 (\Delta T)、(\Delta R)、(a) 的初始值，这些参数用于计算理论折射图。
2. 偏差计算 ：计算实验和理论参数值的最小偏差，通过不断调整参数值，使偏差达到最小。
3. 参数选择 ：根据最小均方根偏差准则，选择使理论折射图最适合实验折射图的典型不均匀性参数。

该模块的流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[输入参数 ΔT, ΔR, a 初始值];
    B --> C[计算实验和理论值的最小偏差];
    C --> D{min ≤ mini};
    D -- 是 --> E[更新 min, ΔT, ΔR, a, I, j, k];
    D -- 否 --> F[更新 i, j, k];
    E --> G[结束];
    F --> C;

6.4 模块 4：剖面重建

模块 4 根据模块 3 选择的不均匀性模型参数，直接重建层中的折射率或温度剖面。具体操作步骤如下：
1. 参数输入 ：输入所选不均匀性模型的参数。
2. 剖面重建 ：利用输入的参数，重建层中的折射率或温度剖面。

该模块的流程图如下：

graph TD;
    A[输入所选模型参数] --> B[重建折射率或温度剖面];

7. 关键因素对算法的影响

7.1 CCD 像素数量的影响

在记录折射图时，CCD 像素数量对结果有重要影响。从前面的分析可知，使用像素数量多（超过 512×512）的矩阵光接收器可以提高记录的精度。这是因为更多的像素能够提供更详细的图像信息，减少因像素不足而导致的信息丢失，从而提高折射图参数估计的准确性。

CCD 像素数量	中心坐标估计偏差 (b[x_0]) (像素)	倾斜角估计偏差 (b[\alpha]) (度)
32×32	0.247	0.243
64×64	0.218	0.022
128×128	0.013	0.008
256×256	<0.001	<0.001
512×512	<0.001	<0.001
1024×1024	<0.001	<0.001

从表格中可以明显看出，随着 CCD 像素数量的增加，中心坐标和倾斜角估计的偏差都显著减小。

7.2 激光束尺寸的影响

高斯激光束的尺寸 (w_x) 和 (w_y) 对参数估计误差也有影响。增大 (w_x) 会使参数 (x_0) 估计的均方根误差略有增加，这是因为激光功率不变时增大 (w_x) 会降低 CCD 矩阵照明，进而降低折射图的信噪比；增大 (w_y) 会使参数 (x_0) 估计误差略有减小，随机分量对总误差贡献较大。

对于每个 CCD 矩阵尺寸，存在一定的 (w_y) 值范围，使参数 (x_0) 计算误差最小。例如，对于 (M = 1024) 和 (N = 1024)，(w_y) 值应在 800 至 1200 像素之间。

7.3 倾斜角的影响

激光平面的倾斜角 (\alpha) 对参数估计偏差有影响。在无噪声情况下，随着激光平面倾斜角增大，坐标 (x_0) 估计偏差也增大，但偏差绝对值不超过像素的百分之几，因此即使观察窗口尺寸小，坐标估计的方法误差也可忽略。倾斜角 (\alpha) 估计的偏差在较宽范围内也可忽略（约为 (10^{-3}) 度）。

考虑噪声影响的模型中，中心坐标估计偏差可达像素的十分之几，并随倾斜角增大而增大；倾斜角 (\alpha) 估计偏差类似，可达几度。因此，为减少参数 (x_0) 和 (\alpha) 估计的偏差，在调整探测辐射源和接收器的初始阶段，应减小激光平面倾斜角 (\alpha)。

8. 总结

激光折射图的记录、处理和定量诊断技术在光学不均匀性研究中具有重要意义。通过加权算法误差分析，我们了解了各种因素对折射图参数估计误差的影响，得出了使用高像素 CCD、合理控制激光束尺寸和倾斜角等结论。

数值折射图分析方法为比较实验和理论结果提供了有效的手段，通过有限元方法计算理论折射图，并使用标准方法估计函数偏差来评估符合程度。

数字折射图记录和处理建议为构建激光折射系统提供了指导，包括选择合适的设备、确定激光功率、估计噪声特性和选择估计算法等。

不均匀性剖面定量诊断原理和基于平面 SLR 折射图的球形边界层温度场重建算法为解决实际问题提供了具体的方法和流程。通过这些技术，我们可以准确地诊断介质的光学不均匀性，重建折射率和温度场，为相关领域的研究和应用提供有力支持。

在实际应用中，我们应根据具体情况合理选择参数和算法，充分考虑各种因素的影响，以提高激光折射技术的精度和可靠性。同时，不断探索和改进这些技术，以适应更复杂的研究和应用需求。