13、数字激光折射图的记录、建模与处理方法解析

数字激光折射图的记录、建模与处理方法解析

1. 电子电路噪声特性

电子电路噪声的频谱特性取决于相机的工作条件（如一次性或连续记录、帧频、曝光时间、是否存在合并等）、相机 - 计算机接口硬件类型、屏蔽程度和连接电缆长度、电子相机控制电路的具体特性以及电子模块的设计。为有效滤除电子电路引起的噪声，需在工作条件下对每台特定相机的噪声特性进行初步分析。

当光照较弱且相机的模数转换器（ADC）以 8 位模式运行时，量化噪声会对输出信号的噪声分量产生显著影响。

2. 光电记录系统的分辨率与误差

通过测试图估算光电记录系统分辨率和图像元素位移测量误差的方法表明，对于给定的记录系统，测试图案可分辨元素之间的最小距离和位移估计误差小于折射图的预期空间变化。这意味着该系统可用于激光折射成像实践。

对记录系统输出过程的能量谱分布定律参数、相关函数、系统分辨率以及测试图位移测量误差的估计，有助于大致确定记录折射图特性时的预期误差，并提出提高估计精度的处理算法。

用于研究 CCD 摄像机特性的方法也可用于分析其他数字图像记录系统。

3. 数字激光折射图模型

3.1 激光折射图的基本概念

激光折射图是由结构化激光辐射穿过待测介质后在毛玻璃屏幕上产生的二维光照分布。在大多数实际应用中，未受介质扭曲的最简单光照分布模型是像散激光束（“激光平面”）与屏幕平面的横截面，这是一个由半轴尺寸差异较大的椭圆界定的区域。使用上述硬件记录被照亮屏幕的图像。

折射图的处理包括确定在有无待测介质的情况下，屏幕平面内二维光照分布各元素空间坐标的差异。光照分布的空间变化携带了介质物理参数的信息。

3.2 数值折射图模型的构建

数值折射图模型在 MATLAB 程序包中实现。创建模型时，假设记录设备为矩阵型 CCD 光接收器，其主要特性前文已提及。模型参数如下：
- CCD 矩阵沿水平方向的像素数 M 和沿垂直方向的像素数 N；
- 相机的暗电流参数；
- 相机 ADC 的位容量（8、10 或 12 位）；
- CCD 矩阵单元沿 x 轴的物理尺寸 lx 和沿 y 轴的物理尺寸 ly。

模型假设 CCD 矩阵单元之间的间隙可忽略不计，且单元在行列中的几何尺寸相同。假设 CCD 矩阵具有线性光传输特性，有用输出信号与 CCD 矩阵相应像素的光照成正比。每个像素的总光照由有用分量、噪声分量和背景分量之和确定。CCD 矩阵的暗电流由曝光期间电荷载流子的热产生引起，用具有指定参数（如数学期望和方差）的正态分布描述。噪声分量 n 的矩阵由具有指定数学期望和方差的正态分布随机数生成器形成。为简化起见，模型中的背景假设为整个矩阵的恒定光照水平。因此，对应于记录图像元素亮度 Ui,j 的每个像素的相对信号电平定义如下：
[
U_{i,j} = g(H_{i,j} + n_{i,j} + C), H_{i,j} \sim F(x_i, y_j)
]
其中，i 是图像行的序列号，j 是图像列的序列号，x 和 y 是空间直角坐标，F(x, yj) 是 CCD 矩阵单元在位置 (i, j) 的光照，Hi,j 是有用信号，ni,j 是噪声分量，C 是背景电平，g 是电平量化算子。

当用数字相机记录折射图时，会发生图像的空间量化以及通过在曝光时间内对 CCD 矩阵相应光敏单元区域上的光照进行积分获得的二维样本阵列的记录。因此，折射图像由 M×N 数值矩阵表示，其中每个元素的值对应于其能量特性（光照）的某个量化级别（像素坐标系）。

在数值模型中，图像每个像素的光照由 16 位整数表示。图像可以 .tif 格式存储在硬盘上，允许像素光照的变化深度高达 16 位。

设记录平面内的连续光照分布为 F(x, y)，且光接收器矩阵的中心与系统光轴重合。在这种情况下，指定序列号为 (i, j)（i = 0, …, N - 1，j = 0, …, M - 1）的图像像素亮度的视频信号电平由以下关系定义：
[
U_{i,j} = k \cdot T_{ex} \int_{\xi_i - 0.5l_x}^{\xi_i + 0.5l_x} \int_{\eta_j - 0.5l_y}^{\eta_j + 0.5l_y} F(\xi, \eta) d\xi d\eta
]
其中，k 是归一化因子，Tex 是曝光时间，
[
\xi_i = \xi_{max} - (i + 0.5)l_x, \xi_{max} = \frac{N}{2}l_x
]
[
\eta_j = \eta_{min} + (j + 0.5)l_y, \eta_{min} = -\frac{M}{2}l_y
]

3.3 不同情况下的光照分布模型

3.3.1 无待测介质时的激光平面光照分布

最简单的待处理图像是在无待测介质时，以激光平面形式的探测辐射的屏幕光照分布图像。在这种情况下，CCD 矩阵平面内的二维光照分布可以用像散高斯光束横截面的模型描述，其中 wx >> wy：
[
F(x, y) = F_0 \exp\left(-\frac{(x_{0n} - x_n)^2}{w_x^2}\right) \cdot \exp\left(-\frac{(y_{0n} - y_n)^2}{w_y^2}\right)
]
[
x_n = x \cdot \cos\alpha + y \cdot \sin\alpha, y_n = -x \cdot \sin\alpha + y \cdot \cos\alpha
]
[
x_{0n} = x_0 \cdot \cos\alpha + y_0 \sin\alpha, y_{0n} = -x_0 \cdot \sin\alpha + y_0 \cdot \cos\alpha
]
其中，F0 是光束横截面中心的光照；x0 和 y0 是光束横截面中心在坐标系 x, y 中的坐标；x0n 和 y0n 是光束横截面中心在坐标系 xn, yn 中的坐标；wx 和 wy 是光束横截面的尺寸；α 是激光平面图像相对于 x 轴的倾斜角度，x, y, xn, yn 是相对于 CCD 矩阵排列的坐标系中的坐标。转换到新坐标 xn, yn 是为了模拟激光平面旋转角度 α。

光束横截面中心的功率密度 F0 与激光功率 P 的关系为：
[
F_0 = \frac{2P}{\pi \times w_x \times w_y}
]

因此，有用信号模型的参数可以选择如下：
- x0, y0：光束横截面中心的坐标；
- wx 和 wy：光束沿 x 轴和 y 轴的横截面尺寸；
- α：激光平面相对于 x 轴的倾斜角度；
- A：高斯光束中心有用信号电平的值，与光照 F0、曝光时间和光敏单元面积成正比。

关系 (7.2) - (7.4) 定义了在无待测介质时，以激光平面形式的探测辐射的折射图参数模型。该模型考虑了激光束参数和数字折射图记录系统的特性。待测介质的影响将表现为给定模型中一个或多个参数的变化，这些参数将在处理模型或实验折射图的过程中确定。

3.3.2 具有径向对称折射率分布介质的折射图模型

在某些情况下，可以为具有径向对称折射率分布的介质构建参数化折射图模型，例如激光平面穿过水中冷却的热球下方时获得的折射图案。为描述这种模型，引入屏幕光照分布中心线的概念很方便，即由穿过待测介质的无限薄激光平面与屏幕平面相交形成的假想曲线。在某些条件下，折射区域中的这条线可以在其自身的直角坐标系中用椭圆近似，其参数如下：a 和 b 是椭圆半轴的尺寸，x0 和 y0 是椭圆中心的坐标，θ 是椭圆长半轴相对于 x 轴的倾斜角度。屏幕平面中坐标系的位置由原点到穿过未受干扰痕迹部分的直线的距离 y 确定。

然而，并非总是能够构建携带有关待测光学透明介质不均匀性程度和特征信息的参数化屏幕光照分布模型。折射图通常具有复杂的形状，难以进行解析描述。在这种情况下，理论激光折射图可以用其数值模型表示，并通过一种公认的估计近似误差的方法（如最小二乘法、最小模法等）与实验结果进行比较。

以下是构建数值折射图模型的主要步骤：
|步骤|操作|
|----|----|
|1|确定 CCD 矩阵的参数，如像素数 M 和 N、暗电流参数、ADC 位容量、矩阵单元物理尺寸 lx 和 ly|
|2|假设 CCD 矩阵的特性，如线性光传输特性、有用信号与光照的比例关系|
|3|定义每个像素的总光照为有用分量、噪声分量和背景分量之和|
|4|使用正态分布描述暗电流和噪声分量|
|5|确定每个像素的相对信号电平|
|6|根据连续光照分布和矩阵中心与光轴的关系，定义视频信号电平|
|7|针对不同情况（有无待测介质、介质特性）选择合适的光照分布模型|

下面是描述不同情况下光照分布模型的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[确定是否有介质]
    B -- 无介质 --> C[使用像散高斯光束横截面模型]
    B -- 有介质 --> D[判断介质是否有径向对称折射率分布]
    D -- 是 --> E[构建椭圆近似的中心线模型]
    D -- 否 --> F[使用数值模型并比较实验结果]
    C --> G[结束]
    E --> G
    F --> G

4. 数字折射图处理方法

4.1 参数估计方法

参数估计方法是用包含一组信息和伴随参数的分析模型来逼近待处理的实验函数。通过选择的某个准则来估计模型参数。

程序中用于将实验折射图像逼近椭圆模型的活动窗口如图所示。可以通过手动或自动选择最能描述待处理实验光照分布中心线的模型参数来进行逼近。自动确定模型参数是通过穷举搜索平滑实验图像中像素光照总和的最大值来实现的，这些像素的坐标与椭圆模型中相应点的坐标一致。

程序的其他功能包括绘制 CCD 矩阵所需列（沿 x 轴）的光照分布曲线，或对几列求平均后的分布曲线，以及估计所选分布的高斯模型参数。这里处理的是红、绿、蓝三色实验折射图，以及不同灰度级的黑白图像。程序附加功能窗口的外观如图所示。在分布直方图下方左侧的窗口中选择要处理的颜色。该窗口右侧的输入字段可帮助大致估计图像所需列中的信号和噪声水平。附加功能窗口的右侧部分是控制按钮和用于显示高斯光照分布模型参数 X0、I0 和 ρ 估计结果的显示窗口，其中 X0 是分布中心行的序列号，I0 是振幅，ρ 是 I0/e 水平处的分布宽度。

也可以使用基于加权方法的算法来估计这些参数。该方法的本质是在屏幕被像散激光束照亮达到最大值的点附近，在指定大小的窗口内对图像每列中的离散信号进行“加权”。使用局部最大值的合格坐标，通过最小均方根偏差法来估计逼近激光平面的直线参数，即倾斜角度 α 和高斯光束中心的坐标 x0 和 y0。

图像每列中激光平面中心的坐标由以下关系定义：
[
\xi_j = \frac{\sum_{i = q - \frac{r}{2}}^{q + \frac{r}{2}} \sum_{v = j}^{j + s} ivU_{i,v}}{\sum_{i = q - \frac{r}{2}}^{q + \frac{r}{2}} \sum_{v = j}^{j + s} vU_{i,v}}
]
[
\zeta_j = \frac{\sum_{i = q - \frac{r}{2}}^{q + \frac{r}{2}} \sum_{v = j}^{j + s} ivU_{i,v}}{\sum_{v = j}^{j + s} \sum_{i = q - \frac{r}{2}}^{q + \frac{r}{2}} iU_{i,v}}
]
其中，Ui,j 是编号为 i,j 的像素的光照水平，q 是第 j 列中具有最大光照的图像元素 Uq,j 所在行的序列号，r×s 是加权窗口的尺寸。坐标为 ξj 和 ζj（j = 1, …, (M - s)）的点用于估计可用于逼近激光平面的直线的参数 p1 和 p2：
[
\xi = p_1 \times \zeta + p_2
]
[
p_1 = \frac{(M - s) \times \sum_{j = 1}^{M - s} (\xi_j \cdot \zeta_j) - \sum_{j = 1}^{M - s} \xi_j \times \sum_{j = 1}^{M - s} \zeta_j}{(M - s) \times \sum_{j = 1}^{M - s} \zeta_j^2 - (\sum_{j = 1}^{M - s} \zeta_j)^2}
]
[
p_2 = \frac{1}{(M - s)} \times \left(\sum_{j = 1}^{M - s} \xi_j - p_1 \times \sum_{j = 1}^{M - s} \zeta_j\right)
]

使用最小均方根偏差法来估计参数 p1 和 p2。逼近直线参数的估计值用于确定激光平面参数的估计值 $\hat{\alpha}$ 和 $\hat{x_0}$：
[
\hat{\alpha} = \arctan(p_1)
]
[
\hat{x_0} = p_2 - \tan(\hat{\alpha})y_0
]

上述算法可以估计激光平面相对于 x 轴倾斜角度 α 在 -45° 到 +45° 范围内的参数。为该算法补充确定图像扫描方向的功能后，就可以处理倾斜角度超过 45° 的激光平面照亮屏幕的图像。

以下是使用加权方法估计激光平面参数的步骤列表：
1. 确定加权窗口的尺寸 r×s。
2. 找到每列中具有最大光照的像素所在行的序列号 q。
3. 根据公式计算每列中激光平面中心的坐标 ξj 和 ζj。
4. 使用坐标为 ξj 和 ζj 的点，通过最小均方根偏差法估计直线参数 p1 和 p2。
5. 根据 p1 和 p2 计算激光平面的倾斜角度 $\hat{\alpha}$ 和中心坐标 $\hat{x_0}$。

下面是参数估计方法的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[选择逼近模型类型]
    B -- 椭圆模型 --> C[手动或自动选择参数]
    B -- 加权方法 --> D[确定加权窗口尺寸]
    D --> E[找到列中最大光照像素行号]
    E --> F[计算激光平面中心坐标]
    F --> G[估计直线参数 p1 和 p2]
    G --> H[计算激光平面参数估计值]
    C --> I[结束]
    H --> I

4.2 程序实现与应用

上述以激光平面照亮毛玻璃屏幕时出现的折射图模型在 MATLAB 技术计算语言编写的程序中使用。

启动程序时，需要选择模型参数，如噪声的数学期望和方差、图像的像素大小、激光束尺寸 wx 和 wy、光束中心的坐标 x0 和 y0（以像素为单位）、光束倾斜角度 α、光束在中心产生的光照 A（以灰度级相对单位表示），以及要建模的具有给定参数的图像数量。该程序能够处理从外部文件下载的模型图像和实验图像。用户选择的依赖关系显示示例如图所示。

数字激光折射图的记录、建模和处理是一个涉及多方面知识和技术的过程。从电子电路噪声的分析和处理，到数值模型的构建，再到参数估计方法的应用，每个环节都相互关联，共同为准确获取和分析待测介质的物理参数提供支持。通过合理选择和优化各个环节的参数和方法，可以提高整个系统的性能和精度，为激光折射成像技术在实际应用中的广泛使用奠定基础。

以下是启动 MATLAB 程序处理折射图的参数选择表格：
|参数|说明|
|----|----|
|噪声数学期望和方差|描述噪声的统计特性|
|图像像素大小|确定图像的分辨率|
|激光束尺寸 wx 和 wy|影响光照分布|
|光束中心坐标 x0 和 y0|定位光束位置|
|光束倾斜角度 α|描述激光平面的倾斜情况|
|光照 A|表示光束中心的光照强度|
|图像数量|指定要建模的图像个数|