23、几何路由与区间调度算法解析

几何路由与区间调度算法解析

在几何路由和区间调度领域，有许多重要的算法和问题值得深入探讨。下面我们将详细介绍多边形分区、逆吸引区域计算、信标路由以及区间调度等方面的内容。

多边形分区计算

对于多边形 (P) 相对于信标 (b) 的分区计算，其时间和空间复杂度取决于多边形是否有洞。
- 若 (P) 为简单多边形，可在 (O(n)) 时间和空间内完成计算。
- 若 (P) 有洞，则需 (O(n + h \log_{1+\epsilon} h)) 时间和 (O(n)) 空间。

逆吸引区域计算

逆吸引区域的计算是一个相对复杂的问题，因为其可能有多个连通分量，且分量可能在多边形内部自由浮动，边界由非局部条件定义。我们采用分解方法来解决这个问题。

点的逆吸引区域算法

1. 构建排列 (A_p) ：由多边形各边定义的直线以及通过每个反射顶点且垂直于该顶点相关边的直线组成。
2. 利用分裂顶点性质 ：证明若 (b_1) 和 (b_2) 是排列 (A_p) 中面 (F) 的两个点，且 (p_i) 是相对于 (b_1) 的分裂顶点，则 (p_i) 也是相对于 (b_2) 的分裂顶点。
3. 测试候选点 ：通过测试每个面的候选点，确定哪些面构成逆吸引区域。该算法的时间复杂度为 (O(n^2))。

区域 (R) 的逆吸引区域算法

此算法是上述算法的改进，用于计算多边形区域 (R)（(\vert R \ve