20、离散时间系统的z变换分析与应用

离散时间系统的z变换分析与应用

1. 引言

在数字信号处理、数字通信和线性控制系统中，z变换起着至关重要的作用。它类似于连续时间系统中的拉普拉斯变换，用于分析离散时间信号。本文将详细介绍z变换的相关知识，包括其在求解线性差分方程和确定系统传递函数等方面的应用，同时还会涉及使用MATLAB进行相关计算和分析。

2. z变换的基本概念

z变换是分析离散时间信号的重要工具，单边z变换的定义为：
[X(z)=\sum_{n = 0}^{\infty}x[n]z^{-n}]
z变换的收敛区域是使得(X(z))收敛的(z)值的集合。z变换具有一系列性质，常见信号的z变换对可在特定表格中查找。

3. 逆z变换的求解

求逆z变换时，通常将(X(z))进行部分分式展开，然后利用常见信号的z变换对来确定每一项的逆变换。例如，对于给定的(X(z))：
[X(z)=-\frac{0.5}{1 - z^{-1}}+\frac{0.5z}{z^{2}-4z + 5}]
第一项的逆变换为(-0.5u[n])。对于第二项，通过与特定表格中的条目对比来求解逆变换。设(z^{2}-4z + 5=z^{2}-2a\cos\Omega z+a^{2})，可得(a = \sqrt{5})，(\cos\Omega=\frac{2}{\sqrt{5}})，(\sin\Omega=\frac{1}{\sqrt{5}})，(\Omega = 0.4636)。进一步将(X(z))变形为：
[X(z)=-\frac{0.5}{1 - z^{-1}}+\frac{0.5z\cos\Omega}{z^{2}-2a\cos\Omega z+a