17、离散傅里叶变换：原理、性质与应用

离散傅里叶变换：原理、性质与应用

在信号处理领域，离散傅里叶变换（DFT）及其相关的离散时间傅里叶变换（DTFT）是非常重要的工具。本文将详细介绍DTFT和DFT的原理、性质以及相关应用。

1. 离散时间傅里叶变换（DTFT）

DTFT是将离散时间信号转换到频域的一种变换方法。其定义如下：
[X(\Omega)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n}]
通过将频域的冲激序列展开为傅里叶级数，可以得到一些有用的结果。例如：
[\sum_{n = -\infty}^{\infty}\delta(\omega - n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n = -\infty}^{\infty}e^{jnT_0\omega}]
其中(\Omega = \omega T_0)。将其代入DTFT的定义式中，可以得到DTFT对：
[x[n]\leftrightarrow 2\pi\sum_{k = -\infty}^{\infty}\delta(\Omega - 2k\pi)]

1.1 DTFT的性质

DTFT具有许多与连续时间傅里叶变换相似的性质，下面将逐一介绍。

• 线性性质 ：若(x_1[n]\leftrightarrow X_1(\Omega))，(x_2[n]\leftrightarrow X_2(\Omega))，则对于任意常数(a)和(b)，有(ax_1[n]+bx_2[n]\leftrightarrow aX_1(\Omega)+bX_2(\Omega))。