18、离散傅里叶变换与z变换：原理、应用与MATLAB实现

离散傅里叶变换与z变换：原理、应用与MATLAB实现

1. 离散傅里叶变换（DFT）基础

离散傅里叶变换（DFT）是信号处理领域的重要工具，它能将离散时间信号从时域转换到频域。对于一个长度为N的离散序列x[n]，其DFT定义为：
[X[k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}, k = 0, 1, \cdots, N - 1]
而逆离散傅里叶变换（IDFT）则是将频域信号转换回时域，定义为：
[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}nk}, n = 0, 1, \cdots, N - 1]

在计算DFT时，每个X[k]的计算需要N次复数乘法和N - 1次复数加法。对于整个DFT计算，需要$N^2$次复数乘法和$N(N - 1)$次复数加法。当N很大时，这种计算量会变得非常耗时。

2. 快速傅里叶变换（FFT）

为了减少DFT计算的复杂度，快速傅里叶变换（FFT）算法应运而生。FFT由James Cooley和John Tukey在1965年开发，它并不是一种新的变换，而是DFT的快速计算算法。

FFT算法能显著减少计算所需的复数乘法次数。下表比较了N点DFT和FFT所需的复数乘法次数：
| m | N = 2^m | DFT | FFT |
| — | — | — | — |
| 1 | 2 | 4 | 1 |
| 2 | 4 | 16 | 4 |
| 3 | 8 | 64 | 12 |
| 4