8、离散傅里叶变换与快速傅里叶变换：原理、应用与实例

离散傅里叶变换与快速傅里叶变换：原理、应用与实例

在信号处理和数学分析领域，傅里叶变换是一种强大的工具，它能将信号从时域转换到频域，帮助我们更好地理解和处理信号。本文将深入探讨离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）的原理、应用，并通过具体的代码示例进行说明。

1. 离散傅里叶变换（DFT）

在处理实际数据时，通常需要对离散数据向量进行傅里叶变换的近似计算，这就引出了离散傅里叶变换（DFT）。DFT 本质上是对函数 $f(x)$ 以规则间隔 $\Delta x$ 离散化后得到的数据向量 $f = [f_1, f_2, f_3, \cdots, f_n]^T$ 的傅里叶级数的离散化版本。

DFT 的计算公式如下：
- 离散傅里叶变换：$\hat{f} k = \sum {j=0}^{n - 1} f_j e^{-i2\pi jk/n}$
- 逆离散傅里叶变换（iDFT）：$f_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n - 1} \hat{f}_j e^{i2\pi jk/n}$

DFT 可以看作是一个线性算子（即矩阵），将数据点 $f$ 映射到频域 $\hat{f}$：${f_1, f_2, \cdots, f_n} \xrightarrow{DFT} {\hat{f}_1, \hat{f}_2, \cdots, \hat{f}_n}$。

对于给定的点数 $n$，DFT 使用基本频率 $\omega_n = e^{-2\pi i/n}$ 的整数倍的正弦和余弦函数来表示数据。DFT 可以通过矩阵乘法来计算：
[
\begin{bmatrix}
\