17、Z变换：原理、性质与应用

Z变换：原理、性质与应用

1. 收敛域（ROC）特性

Z变换的收敛域取决于序列的类型。对于右边序列（当(n < N_1)时，(x[n]=0)），收敛域是(X(z))最大幅度有限极点之外的环形区域；对于左边序列（当(n > N_2 > - \infty)时，(x[n]=0)），收敛域是(X(z))最小幅度有限极点之内的环形区域；若序列既非左边序列也非右边序列，收敛域则是由极点在内外边界界定的环形区域。

2. Z变换的性质

2.1 线性性质

若有序列(x[n])和(y[n])，它们的Z变换分别为(X(z))和(Y(z))，收敛域分别为(R_x)和(R_y)，则(ax[n]+by[n])的Z变换为(aX(z)+bY(z))，收敛域(ROC \supset R_x \cap R_y)。
证明时，应用Z变换定义。若(X(z))和(Y(z))为(z)的有理函数，相加时若引入零点抵消了极点，收敛域会大于交集；若无极点/零点抵消，收敛域就是交集。

2.2 时移性质

(x[n - i] \leftrightarrow z^{-i}X(z))，收敛域(ROC = R_x)。
证明通过变量替换(k = n - i)完成。注意，收敛域可能在(z = 0)或(z = \infty)处增减几个极点。

2.3 时间反转性质

(x[-n] \leftrightarrow X(\frac{1}{z}))，收敛域(\frac{1}{R_{x+}} < |z| < \frac{1}{R_{x-}})。
证明通过变量替换(k = -n)完成。 <