26、单服务器队列模型：理论、模拟与应用分析

单服务器队列模型：理论、模拟与应用分析

1. 单服务器队列模型概述

在许多实际场景中，如超市收银台、银行柜台等，都会出现单服务器队列的情况。在这种情况下，顾客的到达和服务过程具有一定的随机性。
假设一个收银台只有一名收银员，服务时间服从指数分布，平均服务率为 $\mu$ 分钟；顾客的到达相互独立，顾客的到达间隔时间也服从指数分布，平均到达率为 $\lambda$ 个顾客每分钟，这样顾客的到达数量就形成了一个泊松过程。

为了对收银台形成的队列进行建模，令 $N(t)$ 表示在时间 $t$ 时队列中排队或正在接受服务的顾客数量。这个随时间变化的随机变量 $N(t)$ 在时间 $t$ 可以取 $0,1,2,\cdots$ 等整数值。

在一个短时间间隔 $\Delta t$ 内，到达的概率为 $\lambda\Delta t$，离开的概率为 $\mu\Delta t$。在这个时间段内，有三种互斥的事件可能发生：
- 恰好有一个顾客在 $(t,t + \Delta t)$ 内到达；
- 恰好有一个顾客在 $(t,t + \Delta t)$ 内离开；
- 在 $(t,t + \Delta t)$ 内没有顾客到达或离开。

基于这些假设，可以构建如图 1 所示的状态图：

graph LR
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