19、回归分析：从线性到曲线拟合的全面解析

回归分析：从线性到曲线拟合的全面解析

1. 线性回归与噪声影响

在回归分析中，F - 比率是衡量回归显著性的重要指标。F - 比率的分母为 MSRes（残差均方），当数据完全呈线性时，MSRes = 0，此时 F - 比率达到无穷大，这表明回归分析的显著性极高。随着噪声的增加，F - 比率会下降。

我们可以通过查附录中的 F 表来确定临界值，或者在简单回归中，利用 t - 比率进行相同的显著性检验。以下是不同噪声水平下的回归分析示例：
| 情况 | R 平方 | 调整后 R 平方 | s（标准差） | 自由度 | F - 比率 | 显著性水平 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| Y1 | 100.0% | 100.0% | 0 | 8 | ∞ | <0.0001 |
| Y2 | 98.9% | 98.8% | 1.024 | 8 | 738 | <0.0001 |
| Y3 | 40.1% | 32.6% | 10.08 | 8 | 5.36 | 0.0494 |
| Y4 | 0.6% | -11.8% | 82.04 | 8 | 0.050 | 0.8289 |

从这些数据可以看出，随着噪声的增加，R 平方值下降，F - 比率减小，回归的显著性也随之降低。在完全线性的情况下，回归系数 $\beta_0$ 和 $\beta_1$ 能被准确估计，标准误差为 0，t - 比率为无穷大，这意味着在任何水平上都具有显著性。但随着噪声的增加，系数估计会偏离真实值，标准误差增大，t - 比率下降，显著性（p 值）也会降低。

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