10、阶段、状态与类别建模：从人口模型到矩阵代数

阶段、状态与类别建模：从人口模型到矩阵代数

1. 复杂系统建模的必要性

在许多实际情况中，将整体视为一个单一实体进行建模往往只能得到对真实行为的近似描述。例如，在人口研究中，年轻人和老年人的生存与出生率不同，男性和女性的平均寿命也可能存在差异；在个人财务领域，储蓄可能分散投资于不同地方，各有不同的利率，每笔贷款的利率也不尽相同。因此，为了更准确地反映实际情况，我们需要将整体划分为不同部分，为每个部分赋予不同的参数。

2. 人类人口模型

2.1 模型假设

• 生育主体 ：只有女性能够生育，在一定程度上，只要有足够的男性，出生人数仅由女性数量决定。因此，许多人口模型只考虑女性人口。
• 年龄阶段 ：女性在一生中不同阶段的生育和死亡概率会发生变化。绝经后，女性不再对新增人口有贡献，所以很多模型只考虑育龄女性。
• 年龄分组 ：为简化模型，我们将育龄女性（0 - 45 岁）划分为三个等长的年龄组：0 - 15 岁、15 - 30 岁和 30 - 45 岁。

2.2 参数设定

设 (b_i) 表示第 (i) 个年龄组的出生率，(S_{ij}) 表示从第 (i) 个年龄组到第 (j) 个年龄组的存活率。根据相关数据，我们得到 (b_1 = 0.4271)，(b_2 = 0.8498)，(b_3 = 0.1273)，(S_{12} = 0.9924)，(S_{23} = 0.9826)。

2.2 方程建立