6、离散随机模型：理论、模拟与数据分析

离散随机模型：理论、模拟与数据分析

1. 确定性模型与随机模型

在现实生活中，我们会发现很多事情的发生是难以预测的。比如，有时身边很多人都生孩子，有时却几乎没有；花园有时收成好，有时则不然；篮球运动员有时能连续命中罚球，有时却接连失误；街道上有时有很多房子出售，有时则一套都没有；买彩票，大多数时候都不会中奖，偶尔才会有好运降临。

然而，传统的确定性模型却无法考虑到这些生活中的不确定性。以人口增长模型 (x(n) = rx(n - 1)) 为例，其中 (r) 是人口增长率，它在任何时刻，根据变量的值只能取一个确定的值。如果 (r(x) = 0.2x)，当 (x = 1) 时，(r) 就固定为 (0.2)，不会是 (0.21) 或 (0.18)。如果对这样的模型进行 100 次模拟，每次都会得到完全相同的输出。

与之相对的是随机模型，它会将随机事件考虑在内，每次运行模型都会产生不同的结果。例如，对于篮球运动员罚球的随机模型，每次罚球有 75% 的命中概率，但也可能出现连续 10 次罚球不中的情况，这显然更符合我们对现实生活的预期。

随机模型主要围绕两个主题展开：一是如何解读带有噪声的数据和输出；二是如何构建包含随机成分的模型。

2. 随机松鼠模型示例

2.1 确定性松鼠种群模型

假设有一个城市公园，管理员发现公园里的松鼠种群数量在下降，记录到松鼠种群的年增长率 (r = -0.50)。如果初始松鼠种群数量 (x(0) = 100)，那么可以通过指数衰减模型 (x(n) = 0.5x(n - 1)) 来计算未来五年的松鼠种群数量，其通解为 (x(n) = (0.5)^n x(0))。具体数据如下表所示：