63、近似距离标签方案的研究与应用

近似距离标签方案的研究与应用

1 引言

1.1 动机

传统的网络表示通常是全局性质的。为了获取有用信息，即便所需信息仅与少数节点相关，也必须访问表示整个网络的全局数据结构。而标签方案则采用更本地化的网络表示方式，通过为节点分配标签，使得可以直接从节点标签中推断出任意两个节点的相关信息，无需额外信息源。

为使标签方案实用，标签应相对较短（如长度为关于节点数 $n$ 的多对数级），同时能实现高效的信息推断（如在多对数时间内完成）。近年来，这一理念在捕捉距离信息方面得到研究，催生了距离标签方案，即能够根据节点标签高效确定两节点间距离的方案。

不过，并非所有图族都存在高效的精确距离标签方案。对于一些非同构的 $n$ 顶点图族，距离标签方案使用的标签总长度可能达到 $\Omega(n^{1 + \epsilon})$，这意味着至少有一个标签的长度为 $\Omega(n^{\epsilon})$ 比特。例如，对于所有无权图类，某些 $n$ 顶点图的标签大小至少为 $\Omega(n)$ 比特。因此，人们开始思考是否可以放弃捕捉精确信息的目标，转而构建更高效的近似距离标签方案。

1.2 近似距离标签方案的定义

给定一个连通无向图 $G$ 以及两个节点 $u$ 和 $v$，$d_G(u, v)$ 表示 $u$ 和 $v$ 在图 $G$ 中的距离。图 $G$ 的节点标签是一个非负整数函数 $L$，它为图 $G$ 的每个节点 $u$ 分配一个标签 $L(u, G)$（以二进制字符串形式表示）。

距离解码器是一个负责距离计算的整数函数 $f$，给定两个标签 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$（不考虑