28、调度问题分组技术与多车辆路径调度算法解析

调度问题分组技术与多车辆路径调度算法解析

1. 作业车间调度问题的分组技术

在作业车间调度问题中，目标是最小化最大完工时间（Makespan）。设 ε 是一个任意小的有理数，m ≥ 2 和 µ ≥ 1 为整数值，且在整个过程中，ε、m 和 µ 被视为常数，并非输入的一部分。为简化，假设 1/ε 为整数。

首先，给出最小最大完工时间的上下界。对于作业车间调度问题的给定实例，最优最大完工时间记为 OPT。设 $d_j = \sum_{i = 1}^{\mu} p_{ij}$ 为作业 $J_j$ 的总处理时间，$D = \sum_{J_j \in J} d_j$。显然，$D/m \leq OPT$，且通过依次调度作业可得到长度至多为 D 的调度方案，即 $D/m \leq OPT \leq D$。通过将所有执行时间 $p_{ij}$ 除以 $D/m$，不妨设 $D/m = 1$，则 $1 \leq OPT \leq m$。

接着，定义可忽略操作。对于作业 $J_j$，用 $N_j = {O_{ij} : i = 1, …, \mu 且 p_{ij} \leq \frac{\varepsilon}{\mu m}d_j}$ 表示可忽略操作的集合。有如下引理：
- 引理 4 ：在损失 1 + 2ε 的情况下，假设对于每个作业 $J_j$ 满足：
- 对于 $O_{ij} \in N_j$，$p_{ij} = 0$；
- 对于 $O_{ij} \notin N_j$，$p_{ij} = \frac{\varepsilon}{\mu m}d_j(1 + \varepsilon)^{\pi_i}$，其中 $\pi_i \in N$