自然常数 e 与欧拉恒等式【二】

一、log 与 ln

1.1 log

对数是在问，底数 a 的多少次方等于 x？

例如：

我们的底数 a 是 10，x 是 100，用对数描述就是：

1.2 ln

ln 是一种特殊的 log，他以 e 为底数，也就是：

我们知道 e 的 1 次方就是 e，所以可得：

二、e 的导数

2.1 e的定义回顾

如果你存 1 块钱给银行，银行的年利率是 100% 如果一年存一次可获得 2 元，如果存 12 次可获得 2.613 元，如果存无限多次，最多也只能获得 e 元。

至此我们得到了 e 的定义：

那么，我们如果要把这 1 元以同等的利率方式存两年呢？

可得：

由此看出，我们存 x 年就是：

2.2 e 的导数

导数恰好就是描述某一瞬间增长的速度。

有趣的来了， 恰好是描述在一段时间内，自身增长 100% 的连续增长 / 时间。

我们不计算微分，仅取 1.0001次方 与 1 次方计算，可见还是能约等于 e：

而我们将底数换成 5 其结果则等于 8.048：

所以根据导数的定义，所以 e^x 的导数等于自身：

对于其他的底数求导公式则是：

三、为什么欧拉公式要用 e

3.1 以 e 为底数

我们知道，欧拉公式为：

这是因为  的增长率等于自身。

我们希望 θ 增长多少，角度就增长多少，所以用 e 作为底数是天然适用的。

如果我们对两端同时求导：

等于：

也就是说，只有底数为 e 的情况下，两边分别求导才是相等的。

3.2 以其他数为底数

如果我们以 5 为底数，为了保证公式的等价，结果是这样：

四、e 的连续

4.1 RC 电路

假设我们有一个电路：

R = 1000Ω

C = 0.001F

其中，Vs 能提供的电压是 10V。

我们将要计算电容什么时候可以充满 (也就是电容两端的电压什么时候达到 10V)。

我们使用电容电压充电公式：

• Vc(t)：t 时刻的电容电压，单位 V
• Vs：电源电压，也是电容最终趋近的电压，单位 V
• t：已经充电的时间，单位 s
• R：串联电阻，单位 Ω
• C：电容量，单位 F
• RC：时间常数，通常写成 τ

首先计算 τ 的值：

代入公式可得每秒的电容电压。

1s：

2s：

3s：

电压如图所示：