10、图断言可达性谓词的符号操作与决策问题

图断言可达性谓词的符号操作与决策问题

1. 断言的表示与冗余形式

断言的表示是理解整个可达性问题的基础。断言的表示定义如下：
- 断言 $\gamma$ 的表示 $\text{Den}(\gamma) = {\Delta | \Delta \vDash \gamma}$，这意味着 $\gamma$ 表示通过扩展 $\gamma$ 中指定的最小要求以满足路径公式而获得的所有配置。
- 有限断言集 $\Gamma$（析取）的表示为 $\text{Den}(\Gamma) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma} \text{Den}(\gamma)$。

例如，给定 $\gamma = \exists X, Y.\text{path}(p, X, Y)$，$\text{Den}(\gamma)$ 包含所有至少有一条从两个不同节点出发且标签为 $p$ 的路径的配置；给定 $\gamma_1 = \exists X.\text{path}(p, X, X)$，$\text{Den}(\gamma_1)$ 包含所有至少在节点 $n$ 上有一个标签为 $p$ 的环的配置。

冗余形式方面，如果存在符号 $p$ 和存在量词量化的变量 $X, Y, V_1, \ldots, V_k$（$k \geq 0$），使得断言 $\gamma$ 包含 $\text{path}(p, X, Y)$ 以及 $\alpha_1(p, V_1, V_2), \alpha_2(p, V_2, V_3), \ldots, \alpha_{k - 1}(p, V_{k - 1}, V_k)$（其中 $\alpha_i \in {\text{link}, \text{path}}$ ，$