自然常数 e 与欧拉恒等式

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原创 2026-09-26 21:45:11 243 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

PFC中pb模型实战：从胶结参数设置到破坏模拟全流程解析本文详细解析了PFC软件中平行胶结模型（PB模型）的实战应用全流程。从胶结参数（pb_kn, pb_ks, pb_ten等）的物理意义与精准赋值入手，深入探讨了模型构建、胶结施加以避免初始损伤的技巧，并系统介绍了破坏过程的监测、阈值判定方法以及高级可视化与常见问题诊断。旨在帮助岩土工程与颗粒材料研究者掌握从参数调试到破坏模拟的核心操作，提升数值模拟的准确性与效率。阅读详情

一、导数

1.1 状态量

状态量是用来描述某个现象当前状态的量，往往是一种物理量、经济量或工程量。

例如，竹子的高度、汽车的位置、电容两端的电压、银行账户中的金额，都可以看作状态量。

现象	状态量	状态量的一个取值
竹子生长的高度	高度	竹子 1 天生长了 1m
汽车运动的位置	位置	汽车 1h 跑了 20km
电路的电压 / 电流	电压、电流	电容在 1s 后电压为 1V
银行存款	金额	存款 100 元，1 年后得到 110 元

比如我们说竹子的高度 1m，1m 就是一个状态量。

1.2 变化率

假设竹子的生长高度函数是：

$f=f(t)$

比如

$f(1h)=1.5m$

就是意味着竹子生长到 1h 时间后长度为 1.5m。

1.2.1 间隔 1h 期间的平均生长速度

我们先不讨论微分。

我们希望先得到 1h 到 2h 这段时间内竹子的平均生长速度。

我们测得两个状态量，1h 的竹子的高度为 1.5m，2h 的高度为 1.6m：

$\frac{f(1+1)-f(1)}{1}=\frac{1.6-1.5}{1}=0.1$

也就是说，平均每 h 长高 0.1m，这段时间内平均生长速度就是 0.1m/h 了。

1.2.2 间隔 0.5h 期间的平均生长速度

$\frac{f(1+0.5)-f(1)}{0.5}$

再去测量计算，就得到这段 0.5h 间隔内平均生长速度，单位为 m/h。

1.2.3 瞬时变化率

我们不如直接将这个间隔时间求的无限地小：

$f'(t)=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$

这就是真正的瞬时速度了，而不是某一段时间的平均速度，单位同样为 m/h。

位置的导数就是速度，是指当时间间隔趋近于 0 时，位置增量与时间增量的比值。

1.3 单位状态量的变化率

单位状态量的变化率是指状态量的变化率与状态量之间的比值。

比如某一时刻，竹子的高度是：

$f(t)=2m$

竹子的瞬时生长速度为：

$f{}'(t)=0.1m/h$

那么单位状态量的变化率为：

$\frac{h'(t)}{h(t)} = \frac{0.1\,\mathrm{m/h}}{2\,\mathrm{m}} = 0.05\,\mathrm{h^{-1}} = 0.05$

其物理意义就是：

竹子每小时增长自己当前高度的 5%。

单位状态量的变化率 = 生长速度 / 生长高度。

二、自然常数 e

2.1 竹子生长问题

我们假设增长速度为：

100%/y/m，也就是竹子每年增长自身的 100%

2.1.1 只增长一次

$\left(1+\frac{100\%}{1}\right)^1 = 2\,\mathrm{m}$

2.2.2 每月增长一次

$\left(1+\frac{100\%}{12}\right)^{12} = 2.613\,\mathrm{m}$

2.2.3 每天增长一次

$\left(1+\frac{100\%}{365}\right)^{365} = 2.714\,\mathrm{m}$

2.2.4 无限次增长

$lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{100\%}{n}\right)^n \approx 2.71828182846$

2.2 e 的定义

$lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$

至此，我们得到了欧拉常数。

对于一个单位状态量的变化率是固定值 100% 的系统，e 代表了在一个单位时间内，连续的翻倍增长所能达到的极限值。

比如说你存 1 块钱给银行，银行的年利率是 100%，如果一年存一次可获得 2 元，如果存 12 次可获得 2.613 元，如果存无限多次，最多也只能获得 e 元。

更深刻一点的说：

e 描述了连续体变化 (增长或衰减) 的一种状态，而自然界中大部分事物变化发展是接近这种状态的，这也就是为什么很多状态曲线呈现指数样式的原因所在。

简单一句话：e 代表了变化的连续。

2.3 e 的使用方式

$x(t)=x_{0}e^{kt}$

x(t) = 当前值
x0 = 初始值，也就是 t=0 时的值
e = 自然常数
k = 变化率，决定增长或衰减快慢
t = 时间

假设我们的年利率变成了 50% 本金为 100 元，需要计算 2 年的利率：

$100e^{50\%*2} = 271.828$

三、复数

3.1 虚轴

如下图所示，我们引入虚数轴的概念：

在复平面内，乘以 i 等价于逆时针旋转 90°，横轴是实数轴，竖轴是虚数轴。

比如实数 4，乘一次 i 可得：

$4\times i=4i$

再乘一次，就转到了负数：

$4i\times i=-4$

所以乘 i 的意义就是，将数字逆时针旋转 90°。

3.2 二维矢量变换

假设我们有一个坐标 (a,b)，转化为复数坐标得：

$z=a+bi$

乘 i 旋转 90°：

$iz=i(a+bi)=ai+bi^2=-b+ai$

也就是坐标从 (a,b) 转化为 (-b,a)

这正好就是二维平面里逆时针旋转 90° 的结果。

四、欧拉恒等式

4.1 引入欧拉恒等式

指数函数的泰勒展开是：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

我们将其推广到复数域：

$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \cdots$

它的幂每四次循环一次：

$i^1=i\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1$

去掉分子上的括号可得：

$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\cdots$

我们知道 sin 和 cos 的的泰勒展开是：

$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$

$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots$

由指数的泰勒展开和 sin 和 cos 的泰勒展开可得：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

当：

$e^{i\pi }=\cos \pi+i\sin \pi$

的时候，我们可知：

$e^{i\pi }+1=0$

4.2 向量的二维旋转

4.2.1 把二维点写成复数

平面上的点或向量：

$(x,y)$

把二维点写成复数：

$z = x + iy$

x = 实部横坐标
y = 虚部纵坐标

4.2.2 旋转因子

旋转角度 θ 的单位复数是：

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

它在复平面上表示一个，长度为 1，与正实轴 (0°) 夹角为 θ 的角。

所以旋转后的点：

$z' = ze^{i\theta}$

z = 原来的向量
z' = 旋转后的新点

展开一下：

$z' = (x+iy)(\cos\theta+i\sin\theta)$

$z' = x\cos\theta + ix\sin\theta + iy\cos\theta + i^2y\sin\theta$

因为：

$i^2 = -1$

所以：

$z' = x\cos\theta - y\sin\theta + i(x\sin\theta + y\cos\theta)$

于是实部、虚部分别是：

$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$

$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$

这就刚好等价于矩阵旋转：

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$