傅里叶变换和拉普拉斯变换

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原创 2026-08-09 22:54:17 237 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【复变函数笔记】傅里叶变换和拉普拉斯变换 傅里叶积分定理若ftf(t)ft在−∞∞−∞∞上满足下列条件：(1)ftf(t)ft在任一有限区间上满足狄利克雷条件（连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点）；(2)ftf(t)ft在无限区间−∞∞−∞∞上绝对可积（即积分∫−∞∞∣ft∣dt∫−∞∞∣ft∣dt收敛），则有ft12π∫−∞∞∫−∞∞fτe−iωτdτeiωtdωft2π。阅读详情

一、回顾欧拉公式

1.1 欧拉公式

欧拉公式为：

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

它表示单位圆上的一个点。随着 θ 变大，这个复数就在平面上旋转。

例如：

$e^{i\omega t}$

如果取实部：

$\operatorname{Re}\left(e^{i\omega t}\right)=\cos \omega t$

如果取虚部：

$\operatorname{Im}\left(e^{i\omega t}\right)=\sin \omega t$

二、傅里叶变换就是频率探针

2.1 案例

假设我们的源信号是：

$x(t)=\sin(2\pi\cdot 50t)+0.5\sin(2\pi\cdot 120t)$

其含义是：

x(t) = 50Hz 正弦波 + 120Hz 正弦波

其中成分为：

50Hz 分量幅值 = 1
120Hz 分量幅值为 = 0.5

2.2 使用积分计算函数成分

2.2.1 频率探针

可以把傅里叶分析理解成：拿不同频率的波，一个个去和原信号对暗号。

2.2.1 50Hz 积分探针

首先用 50Hz 的波去测试，让它与原信号相乘 (相当于重合的面积相乘)，然后在一段时间内积分：

$\int_{0}^{T} x(t)\sin(2\pi\cdot 50t)\,dt$

因为 x(t) 原本就有50Hz信号，所以平方永远不小于零，所以会不断累加，结果比较大。

2.2.2 120Hz 积分探针

同样的，我们对 120Hz 也求积分，求他们重合的面积：

$\int_{0}^{T} x(t)\sin(2\pi\cdot 120t)\,dt$

2.2.3 计算结果

在下列案例中，引入了实部和虚部的概念。

这是因为我们的案例波形 t=0 时刻开始周期，所以实部统计不到为 0。

为了避免复杂，这里不举例 t=x 时刻开始周期的 f=(t) 函数了。

#include <stdio.h> // 标准输入输出函数
#include <math.h>  // sin、cos、sqrt 数学函数

#define PI 3.14159265358979323846
#define N 100000 // 数值积分分段数量
#define T 1.0    // 信号观察时间，单位：s

// 生成包含 50 Hz 和 120 Hz 的测试信号
double signal(double t)
{
    return sin(2.0 * PI * 50.0 * t) + 0.5 * sin(2.0 * PI * 120.0 * t);
}

// 计算信号在指定频率 f 下的傅里叶积分
void calculate_fourier(double f)
{
    double dt = T / N; // 每个积分小区间的时间宽度
    double real = 0.0; // 傅里叶变换的实部
    double imag = 0.0; // 傅里叶变换的虚部

    // 用矩形面积累加的方式近似计算连续积分
    for (int n = 0; n < N; n++)
    {
        double t = n * dt;               // 当前时刻
        double x = signal(t);            // 当前时刻的信号值
        double angle = 2.0 * PI * f * t; // 检测频率对应的相位角

        real += x * cos(angle) * dt; // 计算实部积分
        imag -= x * sin(angle) * dt; // 计算虚部积分
    }

    // 根据实部和虚部计算复数模长
    double magnitude = sqrt(real * real + imag * imag);

    // 将傅里叶积分模长还原为单边正弦波幅值
    double amplitude = 2.0 * magnitude / T;

    // 输出当前检测频率的计算结果
    printf("检测频率：%6.1f Hz\n", f);
    printf("实部 Re： % .6f\n", real);
    printf("虚部 Im： % .6f\n", imag);
    printf("模长：     %.6f\n", magnitude);
    printf("幅值：     %.6f\n\n", amplitude);
}

int main(void)
{
    // 分别检测 50 Hz、120 Hz 和 80 Hz
    calculate_fourier(50.0);
    calculate_fourier(120.0);
    calculate_fourier(80.0);

    return 0;
}

2.3 引入真正的傅里叶公式

$X(f)=\int_{0}^{T}x(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

其含义是原信号乘反向旋转频率，然后积分累加。

其中：

$e^{-j2\pi ft}$

就是用来检测频率 f=x(t) 的反向旋转探针。

将公式展开后得到：

$e^{-j2\pi ft}=\cos(2\pi ft)-j\sin(2\pi ft)$

积分后也就是：

$X(f) = \int_{0}^{T} x(t) \left[ \cos(2\pi ft)-j\sin(2\pi ft) \right] \,dt$

将实部分虚部分离可得：

$X(f) = \int_{0}^{T}x(t)\cos(2\pi ft)\,dt - j\int_{0}^{T}x(t)\sin(2\pi ft)\,dt$

2.4 离散化的 C 代码

离散化代码如下：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define N 1000                    // 定义采样点数，也就是信号长度为 1000 个点
#define FS 1000.0                 // 定义采样频率，单位为 Hz，这里表示每秒采样 1000 次
#define PI 3.14159265358979323846 // 定义圆周率常量，用于角度计算

int main(void)
{                // 主函数函数体开始
    double x[N]; // 定义长度为 N 的数组，用来保存测试信号的采样值

    // 构造一个测试信号：由 50Hz 正弦波和 120Hz 正弦波叠加而成
    for (int n = 0; n < N; n++)
    {                           
        double t = n / FS;      // 根据采样点序号计算当前时间，单位为秒

        // 给第 n 个采样点赋值生成 50Hz、幅值为 1 的正弦信号叠加 120Hz、幅值为 0.5 的正弦信号
        x[n] = sin(2.0 * PI * 50.0 * t) + 0.5 * sin(2.0 * PI * 120.0 * t);
    } 
    // 对信号 x 进行离散傅里叶变换 DFT，计算频谱
    for (int k = 0; k < N / 2; k++) // 遍历频率下标，只计算前半部分频谱
    {                               // 外层 for 循环函数体开始
        double real = 0.0;          // 保存 DFT 结果的实部，初始值为 0
        double imag = 0.0;          // 保存 DFT 结果的虚部，初始值为 0

        for (int n = 0; n < N; n++)              // 遍历所有采样点，用于计算当前频率 k 的 DFT
        {                                        // 内层 for 循环函数体开始
            double angle = 2.0 * PI * k * n / N; // 计算 DFT 公式中的旋转角度

            real += x[n] * cos(angle); // 累加当前频率分量的实部
            imag -= x[n] * sin(angle); // 累加当前频率分量的虚部，负号来自 DFT 定义
        }

        // 根据实部和虚部计算当前频率分量的幅值
        double amplitude = 2.0 / N * sqrt(real * real + imag * imag); // 计算单边频谱幅值

        // 根据频率下标 k 计算对应的实际频率
        double freq = k * FS / N; // 当前频率点对应的频率，单位为 Hz

        // 只打印幅值比较明显的频率成分
        if (amplitude > 0.1)                                                // 如果当前频率分量的幅值大于 0.1，就认为它比较明显
        {                                                                   // if 语句函数体开始
            printf("freq = %7.2f Hz, amplitude = %.3f\n", freq, amplitude); // 输出频率和幅值
        }
    } 

    return 0;
}