n的x次方求和

最新推荐文章于 2022-01-28 18:51:04 发布

nuiniu

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分类专栏：考研

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$\sum_{k=1}^{n}k^{2}$ :先求解 (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1

在求解 (n)^3-(n-1)^3 =........

......

求 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

最后将这n个式子相加得：

$(n+1)^3-1^3=3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{1}^{n}1$

求出结果为 $\sum_{k=1}^{n}k^2=n(n+1)(2n+1)/6$

$\sum_{k=1}^{n}k^3$ :需要在上面的基础下才能得出结果，因为式子中会出现 $\sum_{k=1}^{n}k^{2}$ 。

$\sum_{k=1}^{n}k^4,\sum_{k=1}^{n}k^5,......\sum_{k=1}^{n}k^y$ 同理

$\sum_{k=1}^{n}k^3=n(n+1)(n+2)/3$

求结果过程中用到的公式：

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

扩展：

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

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