AcWing 3. 完全背包问题

[题目概述]

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 $v_i$，价值是$w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i,w_i，$用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 1000$
$0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

题目转化一下就是背包容积为V，n件物品，每件物品可以取任意件，求所取物品的最大价值。

状态表示：f[i][j] 只考虑前i件物品，容积为j的背包所取物品的总价值的最大值
状态计算：我们划分的条件就是最后一个不同的点，我们现在不同的就是第i件物品取得数量，可以取0,1… j/k件。
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i], f[i - 1][j - 2* v[i]] + 2*w[i] + …)

初代代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1005;
int f[N][N], w[N], v[N], n, V;
int main(){
    cin >> n >> V; 
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j <= V; j ++){
            for(int k = 0; j - k * v[i] >= 0; k ++){
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][V] << endl;
    return 0;
}

但这样肯定是会超时的，最少要优化掉一层，首先应该是k这层
我们可以发现一个规律
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i], f[i - 1][j - 2v[i]] + 2w[i] + …)
f[i][j - v[i]] = max( f[i - 1][j - v[i]], f[i - 1][j - 2*v[i]] + w[i] + …)
我们可以发现 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v[i]] + w[i])
这样的话，就可以优化掉k层

优化代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1005;
int f[N][N], w[N], v[N], n, V;
int main(){
    cin >> n >> V; 
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j <= V; j ++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if(j >= v[i]){
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][V] << endl;
    return 0;
}

我们可以发现这个和01背包的代码很像

这个是01背包的核心句
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);

所以可以仿照01背包的优化

最终优化代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1005;
int f[N][N], w[N], v[N], n, V;
int main(){
    cin >> n >> V; 
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = v[i]; j <= V; j ++){
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[n][V] << endl;
    return 0;
}

• 本题的分享就结束了，完全背包其实和01背包最后优化后的代码挺相似，注意别写错就行
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