Post Office POJ - 1160

转自http://blog.youkuaiyun.com/accry/article/details/6607593
【POJ1160】POST OFFICE 邮局问题

【题目大意】：用数轴描述一条高速公路，有V个村庄，每一个村庄坐落在数轴的某个点上，需要选择P个村庄在其中建立邮局，要求每个村庄到最近邮局的距离和最小。

【题目分析】：经典DP

1、考虑在V个村庄中只建立【一个】邮局的情况，显然可以知道，将邮局建立在中间的那个村庄即可。也就是在a到b间建立一个邮局，若使消耗最小，则应该将邮局建立在（a+b)/2这个村庄上（可以通过画图知道）。

2、下面考虑建立【多个】邮局的问题，可以这样将该问题拆分为若干子问题，在前i个村庄中建立j个邮局的最短距离，是在前【k】个村庄中建立【j-1】个邮局的最短距离 与 在【k+1】到第i个邮局建立【一个】邮局的最短距离的和。而建立一个邮局我们在上面已经求出。

3、状态表示，由上面的讨论，可以开两个数组

dp[i][j]:在前i个村庄中建立j个邮局的最小耗费

sum[i][j]:在第i个村庄到第j个村庄中建立1个邮局的最小耗费

那么就有转移方程：dp[i][j] =min(dp[i][j],dp[k][j-1]+sum[k+1][i]) DP的边界状态即为dp[i][1] = sum[1][i]; 所要求的结果即为dp[vil_num][post_num];

4、然后就说说求sum数组的优化问题，可以假定有6个村庄，村庄的坐标已知分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6;那么，如果要求sum[1][4]的话邮局需要建立在2或者3处,放在2处的消耗为p4-p2+p3-p2+p2-p1=p4-p2+p3-p1 放在3处的结果为p4-p3+p3-p2+p3-p1=p4+p3-p2-p1，可见，将邮局建在2处或3处是一样的。现在接着求sum[1][5],现在处于中点的村庄是3，那么1-4到3的距离和刚才已经求出了，即为sum[1][4],所以只需再加上5到3的距离即可。同样，求sum[1][6]的时候也可以用sum[1][5]加上6到中点的距离。所以有递推关系：sum[i][j] = sum[i][j-1] + p[j] -p[(i+j)/2]

int n,m;
int sum[mxn][mxn];
int dp[mxn][mxn];
int a[mxn];
int main(){
    while(~sf("%d%d",&n,&m)){
        rep(i,1,n)sf("%d",&a[i]);
        mem(sum,0);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=i+1;j<=n;++j){
                sum[i][j]=sum[i][j-1]+(a[j]-a[(i+(j-i)/2)]);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)dp[i][i]=0,dp[i][1]=sum[1][i];
        for(int p=2;p<=m;++p){
            for(int i=1;i<=n;++i){
                dp[i][p]=inf;
                for(int k=p-1;k<i;++k)
                    dp[i][p]=min(dp[i][p],dp[k][p-1]+sum[k+1][i]);
            }
        }
        pf("%d\n",dp[n][m]);
    }
}