从线性变换到相似矩阵的本质探讨

众所周知，矩阵即线性变换。但我一直有个疑点，就是对于一个线性变换作用的向量来说，线性变换究竟改变了它的什么？是名字，还是形状？

换言之，在线性变换的过程中，我们用什么来唯一标识这个向量？是名字还是形状？

形状不同，就是不同的向量吗？名字相同，就不可能画出多个都叫这个名字的向量吗？

而也只有理清了这一点，才能进而去理解更复杂的相似矩阵。

接下来，我们将按照从向量→基底→线性变换→矩阵→相似矩阵的顺序，由浅至深地理解。

 

向量

首先让我们明确一个概念：向量的“名”和“形”并不唯一对应。

也就是说，如果给你一个向量（1，2），让你画出它的形状，你是画不出来的！同理，如果在纸上给出一个箭头线段，问它代表的向量，你同样应该回答不知道。

为什么呢？这个问题可以去问秦始皇，因为他统一了度量衡（划掉）。

其实是因为我们缺少一个必不可少的参照，基底。

 

基底

向量形状，向量名字，基底，这三者是一个知二求一的大三角关系。

而对一个向量而言，同一个名字＋不同基底会得到不同形状；同一个形状＋不同基底会得到不同名字；固定同一个基底，形状和名字一一对应。

而很多人（包括我）会默认同基底的，会觉得不同形状的向量肯定名字不一样啊，一旦这么想就会很难理解相似矩阵了。

所以，我们其实可以发现，很难说到底是什么唯一标识一个向量。或者说，只有先手动确定这三个中的其中一个，以它为标识，我们才能去谈剩下两个的线性变换。

 

线性变换

首先，我们给出线性变换的（唯一）公式形式：

Ax1=x2

其中，x1、x2分别为两个拥有不同名字的向量，A为矩阵（线性变换）。

而由前文的大三角可知，由于有三个影响要素，所以我们可以指定任意一个为不变量，用剩下两个要素的变化关系来定义线性变换，也就是能产生三个定义：

①指定同基底

矩阵A（线性变换）：在同一个基底下，把一个向量变成另一个完全陌生的向量，即使向量发生空间位置的变化。

②指定同名字

矩阵A（线性变换）：描述在另一组基底下的同名向量，在本基底下的名字。

也可以理解成情况①赋予意义之后的版本，但是在变换后的x2不再是一个陌生向量了，而是在某个基底下与x1同名的向量。

不过这个定义有点过于弯弯绕绕，且和①重复，所以一般很少用到。

③指定同形状

个人认为最好的一种理解方式。

矩阵A（线性变换）：描述在不同基底下，同一个向量形状的不同名字。

为什么这个定义最容易理解呢，因为公式的特性是不体现形状，只体现名字。

所以比如说第②种解释就有一种绕来绕去的美感——你说这两个向量同名不同形，可公式只体现名字，总不能填两个一样的名字前等后等吧？所以到头来还得转换到同一个基底让两个名字不等，才能形成公式——毕竟公式之所以叫公式就是等号两边要连接不同的变量。

而③就简单很多，因为本身两个向量名字就不一样，只不过画在纸上是同一个形状。（并且，用形状来唯一标识向量本身也更容易接受，人们天然会觉得形状不同就是不同的向量）

 那么这里的A也因此被赋予了意义：与基底相关的矩阵。更特殊一点的情况下，如果基底之一是标准坐标系，那么：

A=[v1 v2]，v1，v2为基底。

普通情况下：

这个推导过程有三个作用：

①对于一个向量（形状）而言，它的名字和基底是配套出现的，没有基底就没有名字！

②引出求逆矩阵这个知识点。

③回答了一开始的问题：如果一定要选出一个唯一标识向量的要素，选形状是最好理解的。

在上述线性变换的定义中，我们需要着重记忆的是①和③，它们是理解相似矩阵的基石，共同构成了相似矩阵的定义。

 

矩阵

由上文可知，矩阵的本质就是线性变换，是一个向量通往另一个向量的桥梁。而关于它自身的性质就有很多很多了，这放到另一个线性代数总结的帖子里讲。

 

相似矩阵

终于，到了最初的疑点——相似矩阵到底是个什么东西？

如果用线性变换来解释，那就是——①③结合的船新版本。

事实上，如果把①③的示意图拼在一起，就是相似矩阵的示意图：

简而言之，相似矩阵也是矩阵，矩阵的本质是什么？两个向量的线性变换；那么相似矩阵的本质就是：两个矩阵的线性变换，或者说是线性变换的线性变换。

（1）线性变换（T0版本）

        1.公式：Ax1=x2       

        2.理解：两个向量进行线性变换③

        3.含义：相同的向量（形状）在不同基底下，有不同的向量名

 

（2）相似矩阵（T1版本）

        1.公式：A（Px1）=Px2=P（Bx1）

        2.两个矩阵进行线性变换③，而矩阵为：两个向量进行线性变换①

        3.含义：相同的线性变换①在不同基底下，有不同的矩阵表示

ps. 相同的线性变换①指两个变化前的向量形状相同，变化后的向量形状同样相同。

 

所以相似矩阵其实可以理解为一款复合线性变换，或者线性变换²。

 

总结

所以再回头看，我们可以将这些概念简要概括为：

向量：名字、形状、基底三要素，知二求一

线性变换：固定向量三要素之一，剩下两要素随机组合（1个公式，3个定义）

矩阵：向量→向量的线性变换

相似矩阵：矩阵→矩阵的线性变换