1、函数基础小结

函数定义

我们都知道，函数是一种特殊的映射。特殊在哪里？特殊在有两个前置限制条件：

①数字到数字

②多/1对1

此外，我们一般对函数使用这些符号：

映射：f

定义域：D

值域：R

自变量：x

因变量：y

所以，函数f(x)等价于映射f：D→R。

抽象函数分类

为什么这么分呢？比如隐函数就不在这个层面的分类里。我的理解是这些是在函数抽象形式上的变化。比如，首先给出一个函数，它的复合函数就是嵌套多层映射，而反函数则是将原函数倒过来映射。而隐函数是不能将x和y分开的函数，并不是在映射层面有什么特别之处，所以不在分类里。

以此类推，其实在同一个层面的变化还有求导和积分，这就是我们后面要讲的了。

具体函数分类

这里我们需要重点掌握的有以下三个：

基本初等函数

经典之反对幂三指，五大侠。其中，相对陌生的是三角与反三角函数，可以参考复习三角与反三角函数小结-优快云博客

以上五个函数有一个很重要的共性就是连续，而且不仅基本初等函数都是连续的，由此衍生的初等函数也都是连续的。

连续是很多定理能够使用的基石。我们平时做题一般碰到的都是初等函数，也就是说默认连续。而少数不连续的bug，几乎都出自以下一类——分段函数。

分段函数

分段函数是最最典型的非初等函数。作为几乎唯一的非初等函数考点，它在很多地方都要特殊处理，包括但不限于求导，积分……

这里列举其一般形式和常见的分段函数：

幂指函数

如果说分段函数是最典型的非初等函数，幂指函数就是最典型的初等函数，它俩的常考程度堪称卧龙凤雏……

不过也不难理解为啥考它，幂指函数以一种优雅的方式把幂函数和指数函数结合在了一起，并且将在之后的章节和大家频频见面。而面对它，我们有一个通杀法：

一般指数化后，游戏就结束了。

函数性质

同样是经典四大性质。

单调性

这里需要注意的一个点是，严格单调是不带等号的f(x1)＞f(x2)，而不严格单调是可以带等号的f(x1)≥f(x2)。

不过~考试也没人无聊到专门去考这，所以不需要特意区分。

这里会考的是证明单调性，做题方法有以下三种：

其中第一种方法已经退出历史舞台了。此外，第三个导数方法有一个单独考点：

单向成立。

也就是说：

因为实际上导数恒大于0是一个非常严格的条件，而相对而言，单调增（哪怕是严格单调增）都精度不够。

经典反例就是f ( x ) = ，满足单调增，但是导数在零点处取0。做题时要注意题目给出的条件是＞还是≥，常见于选择题，这俩区别可大着呢。

奇偶性

奇偶性是一个能快速结束战斗的神奇性质，甚至做特定题时如果看不出来这题有奇偶性就基本寄了。

以下是一些经典奇函数和偶函数，混个眼熟：

除此之外，还有三条性质要了解：

①奇偶性的四则运算：奇x奇=偶，偶x偶=偶，奇x偶=奇。

②奇偶性联动求导——求导，函数的奇偶性会对调。

      由此衍生，就是：求导次数“奇变偶不变”。

③对于奇函数，f (0) 要么无，要么为0，没有第三种可能。

周期性

代表作：三角函数。

两条性质：

和奇偶性不同，周期性跟随求导遗传（不过想想也确实应该是这样）。

有界性

唯一一个不是高中考点的性质，稍显陌生，同时也是极限三性质之一，将在后续极限的性质里详细讲解。