洛谷P4514 上帝造题的七分钟【二维树状数组】

时空限制 1000ms / 131MB

题目描述

裸体就意味着身体。

“第一分钟，X说，要有矩阵，于是便有了一个里面写满了00的n×mn×m矩阵。
第二分钟，L说，要能修改，于是便有了将左上角为(a,b)(a,b)，右下角为(c,d)(c,d)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。
第三分钟，k说，要能查询，于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。
第四分钟，彩虹喵说，要基于二叉树的数据结构，于是便有了数据范围。
第五分钟，和雪说，要有耐心，于是便有了时间限制。
第六分钟，吃钢琴男说，要省点事，于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。
第七分钟，这道题终于造完了，然而，造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”
——《上帝造裸题的七分钟》
所以这个神圣的任务就交给你了。

输入格式：

输入数据的第一行为X n m，代表矩阵大小为n×mn×m。
从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作：

L a b c d delta —— 代表将(a,b),(c,d)(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。
k a b c d —— 代表求(a,b),(c,d)(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内所有数字的和。
请注意，k为小写。

输出格式：

针对每个k操作，在单独的一行输出答案。

说明

对于10%的数据，$1 ≤ n ≤ 16, 1 ≤ m ≤ 161≤n≤16,1≤m≤16$, 操作不超过200个.
对于60%的数据，$1 ≤ n ≤ 512, 1 ≤ m ≤ 5121≤n≤512,1≤m≤512$.
对于100%的数据，$1 ≤ n ≤ 2048, 1 ≤ m ≤ 2048, -500 ≤ delta ≤500$
操作不超过200000个,保证运算过程中及最终结果均不超过32位带符号整数类型的表示范围。

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题目分析

题目空间卡掉了二维线段树
那么只能考虑二维树状数组了

树状数组对 二维的区间加区间求和 的处理方式
可以从树状数组的区间加 单点求和 逐步拓展出来

接下来以$a[i]$表示原数列，$sum[i]$表示$a[i]$的前缀和
$b[i]$表示引入的增量数组

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对于区间加 单点和
若操作指令为 区间$[ll,rr]$都加v
那么我们令$b[ll]+=v,b[rr+1]-=v$

当我们查询$a[x]$的值时
$a[x]$的增量为$\sum_{i=1}^xb[i]$(即b[x]的前缀和)
这里$b[x]$的前缀和显然可以用树状数组维护

这么做的正确性也很显然
对于$1<=x<ll$，修改后$b[x]$前缀和不变
对于$ll<=x<=rr$，修改后$b[x]$前缀和增加了v
对于$rr<x<=N$，修改后$b[x]$前缀和不变（ll处与rr+1处抵消）

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现在在上面基础上扩展树状数组的 区间加 区间和
$a[x]$的前缀$sum[x]$的增量为

$$\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^ib[j]\ =\ \sum_{i=1}^x(x-i+1)*b[i]\ =\ (x+1)\sum_{i=1}^xb[i]-\sum_{i=1}^xi*b[i]$$
由此我们开两个增量数组
令$b_0[ll]+=v,\ b_0[rr+1]-=v$
$b_1[ll]+=ll*v,\ b_1[rr+1]-=(rr+1)*v$

那么区间$[ll,rr]$的和为
$ans=(sum[rr]+(rr+1)*qsum(b_0,rr)-qsum(b_1,rr))-(sum[ll-1]+ll*qsum(b_0,ll-1)-qsum(b_1,ll-1))$

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按照上面的方法再次扩展出树状数组的 二维 区间加 区间和

矩阵$a[i][j]$的二维前缀和$sum[i][j]$的增量为

$$\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y\sum_{k=1}^i\sum_{l=1}^j b[i][j]=\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^y(x-i+1)(y-i+1)b[i][j]$$

展开得

$$(x*y+x+y+1)\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^yb[i][j]-(x+1)\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^yj*b[i][j]-(y+1)\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^yi*b[i][j]+\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^yij*b[i][j]$$

那么更新与查询与上述类似
增量数组需要开四个
分别维护$b[i][j],j*b[i][j],i*b[i][j],ij*b[i][j]$

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在本题中由于矩阵没有初始值
所以只需计算增量数组即可
若有初始值只需增加原矩阵的二维前缀和

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#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;
#define lowbit(x) ((x)&(-x))

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=2110;
int n,m;
int b[maxn][maxn][4];
char ss[3];

void add(int d,int x,int y,int v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
    for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
    b[i][j][d]+=v;
}

int qsum(int d,int x,int y)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
    for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
    res+=b[i][j][d];
    return res;
}

void update(int x,int y,int v)
{
    add(0,x,y,v); 
    add(1,x,y,y*v);
    add(2,x,y,x*v);
    add(3,x,y,x*y*v);
}

int query(int x,int y)
{
    int tt1=(x*y+x+y+1)*qsum(0,x,y);
    int tt2=(x+1)*qsum(1,x,y);
    int tt3=(y+1)*qsum(2,x,y);
    int tt4=qsum(3,x,y);
    return tt1-tt2-tt3+tt4;
}

int main()
{
    scanf("%s",&ss);
    n=read();m=read();
    while(scanf("%s",&ss)!=EOF)
    {
        int a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
        if(ss[0]=='L')
        {
            int x=read();
            update(a,b,x); update(c+1,d+1,x);
            update(a,d+1,-x); update(c+1,b,-x);
            //以下为每个点更新的具体内容
            //add(0,a,b,x); add(1,a,b,b*x); add(2,a,b,a*x); add(3,a,b,a*b*x);
            //add(0,a,d+1,-x); add(1,a,d+1,-(d+1)*x); add(2,a,d+1,-a*x); add(3,a,d+1,-a*(d+1)*x); 
            //add(0,c+1,b,-x); add(1,c+1,b,-b*x); add(2,c+1,b,-(c+1)*x); add(3,c+1,b,-(c+1)*b*x); 
            //add(0,c+1,d+1,x); add(1,c+1,d+1,(d+1)*x); add(2,c+1,d+1,(c+1)*x); add(3,c+1,d+1,(c+1)*(d+1)*x);
        }
        else if(ss[0]=='k')
        printf("%d\n",query(c,d)-query(a-1,d)-query(c,b-1)+query(a-1,b-1));
        //查询的具体内容
        //query(c,d)=(c*d+c+d+1)*qsum(0,c,d)-(c+1)*qsum(1,c,d)-(d+1)*qsum(2,c,d)+qsum(3,c,d);
        //query(a-1,d)=((a-1)*d+(a-1)+d+1)*qsum(0,a-1,d)-(a-1+1)*qsum(1,a-1,d)-(d+1)*qsum(2,a-1,d)+qsum(3,a-1,d);
        //query(c,b-1)=(c*(b-1)+c+(b-1)+1)*qsum(0,c,b-1)-(c+1)*qsum(1,c,b-1)-(b-1+1)*qsum(2,c,b-1)+qsum(3,c,b-1);
        //query(a-1,b-1)=((a-1)*(b-1)+(a-1)+(b-1)+1)*qsum(0,a-1,b-1)-(a-1+1)*qsum(1,a-1,b-1)-(b-1+1)*qsum(2,a-1,b-1)+qsum(3,a-1,b-1);
    }
    return 0;
}