中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理是用来解这种模数互质的方程组的
$$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{r}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{r}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{mod}{r}_3)\\ ......\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{r}_n)\end{array}$$

其中$r_1,r_2,...r_n$互质。

下面来解释一下中国剩余定理是如何解决这类方程组的。

首先，因为$r_1,r_2,...r_n$互质，所以我们可以设$A_i=\prod _{j\ne i}{r}_j$，则$A_i$和$r_i$互质。根据扩展欧几里德定理，可得存在一个整数$c_i$，使$c_i\ast A_i\%r_i=1$，设$x_i=a_i\ast A_i\ast c_i$，则$x_i\%r_i=a_i$。因为$A_i$是除了$r_i$以外其他$r$值的最小公倍数，所以$A_i$模其他r值都为$0$。

对于每一个方程，我们都求出一个$x_i$，然后累加起来，最终的值满足所有的方程。

所以$x=\sum _{i=1}^n{a}_i\ast A_i\ast c_i$。

通解为$x=\sum _{i=1}^n{a}_i\ast A_i\ast c_i+p\ast \prod _{i=1}^n{r}_i$，其中p为任意整数。

例题

P1495 【模板】中国剩余定理

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long vt=1,x,y,ans=0,r[15],a[15];
void exgcd(long long c,long long d){
	if(d==0){
		x=1;y=0;
		return;
	}
	exgcd(d,c%d);
	long long t=x;x=y;y=t-c/d*y;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&r[i],&a[i]);
		vt=vt*r[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		exgcd(vt/r[i],r[i]);
		x=(x%r[i]+r[i])%r[i];
		ans=(ans+vt/r[i]*a[i]*x%vt)%vt;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

扩展中国剩余定理

如果模数互质，则使用中国剩余定理。但如果模数不互质呢？那我们就要使用扩展中国剩余定理了。同样的方程组：
$$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{r}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{r}_2)\\ x\equiv a_3(\mathrm{mod}{r}_3)\\ ......\\ x\equiv a_n(\mathrm{mod}{r}_n)\end{array}$$

首先取前两个方程：

$x=k\ast r_1+a_1=p\ast r_2+a_2$

$k\ast r_1-p\ast r_2=a_2-a_1$

这两个方程就变成了一个形如$ax+by=c$的不定方程，可用扩展欧几里德定理求解。

当$gcd(r_1,r_2)$不能整除$(a_2-a_1)$时，方程组无解。

否则，求出$k_0$，满足$k_0\ast r_1-p\ast r_2=a_2-a_1$。k的通解为$k=k_0+b\ast (r_2/gcd(r_1,r_2))$。

代入方程组$x=k\ast r_1+a_1$中，则$x=(k_0+b\ast (r_2/gcd(r_1,r_2)))\ast r_1+a_1=k_0\ast r_1+b\ast lcm(r_1,r_2)+a_1$，其中b为任意整数。

即$x\equiv (k_0\ast r_1)+a_1(\mathrm{mod}lcm(r_1,r_2))$

这个方程合并了原来两个方程，但$x$的解与原方程相同。

使用这个方法，不断合并方程组中的两个方程，直到只剩一个方程，就得到$x$的通解了。

参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/DeepStarSky/article/details/107699504