扩展欧几里得 推导及应用

ax+by=gcd(a,b)求解

简单推导

假设有$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$成立
由欧几里得算法知$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
又有$b{x}_2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y_2=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
合并得$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y_2$

$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-\lfloor a/b\rfloor \ast b$
带入上式得$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)y_2$
整理后得$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b\ast (x_2-\lfloor a/b\rfloor y_2)$

所以最后有
$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_2\\ y_1=x_2-\lfloor a/b\rfloor y_2\end{array}$

既然有了这样的递归关系，那么边界呢

显然$gcd(a,0)=a$
即在$b=0$时有$x=1,y=0$使得$a\ast 1+b\ast 0=gcd(a,b)$成立
那么只要在$b==0$时返回$x=1,y=0$即可一步一步回推出原方程的解

代码实现

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    int gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    int tp=x;
    x=y; y=tp-a/b*y;
    return gcd;
}

拓展

上述代码仅仅求出了方程的一组解，但其实答案远远不止一组
怎么求出剩下的解呢

当前以已出的解为$x_1,y_1$，设下一组解为$x_1+s_1,y_1+s_2$
那么有$a(x_1+s_1)+b(y_1+s_2)=gcd(a,b)$
与$a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$化简后得

$a{s}_1=-b{s}_2$
$\frac{s_1}{s_2}=-\frac{b}{a}=-\frac{b/gcd}{a/gcd}$

为了让$s_1,s_2$取值最小(为了得到最小正周期)
显然可以让等式右边上下同时除以$gcd(a,b)$

这样我们就得到了所有解的关系式
$$\{\begin{array}{l}{x}_2=x_1+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k\\ y_2=y_1-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k\end{array},k\in Z$$

特别的，原方程的最小非负整数解的关系式为
$x=(x_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{b}{gcd(a,b)}+\frac{b}{gcd(a,b)})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{b}{gcd(a,b)}$

假如还需要判断方程是否存在正整数解
由于一组解x,y在变化过程中变化方向是相反的，即一个增大一个减小
那么只需要判断在x取最小正整数解时对应的y是否大于0即可

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ax+by=c求解

简单推导

(以下简记$gcd(a,b)$为$gcd$)

假设有$a{x}_1+b{y}_1=gcd$成立

令等式两边同时乘以$\frac{c}{gcd}$
有$a\frac{c{x}_1}{gcd}+b\frac{c{y}_1}{gcd}=c$成立

所以我么就可以先用欧几里得算法求出$x_1,y_1$
那么$x=\frac{c{x}_1}{gcd},y=\frac{c{y}_1}{gcd}$就是原方程的一组解

不过根据裴蜀定理
这样的方程存在解的必要条件为$gcd(a,b)|c$

同样用与上述类似的方法推导出所有解的关系式
$$\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{c{x}_1}{gcd}+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k\\ y_2=\frac{c{y}_1}{gcd}-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k\end{array},k\in Z$$

原方程的最小非负整数解的关系式为
$x=(\frac{c{x}_1}{gcd}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{b}{gcd(a,b)}+\frac{b}{gcd(a,b)})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{b}{gcd(a,b)}$

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同余式ax$\equiv$ c(mod b)求解

简单推导

由$ax\equiv c(modb)$不难得到
$(ax-c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=0$

即一定有整数y使得$ax+by=c$成立
问题转化为上一模型

然而由于是同余式求解
事实上转化等式后求出的许多解在膜b意义下是相同的
所以我们需要找出所有膜b意义下不同的解

观察上一模型的关系式

$$\{\begin{array}{l}{x}_2=\frac{c{x}_1}{gcd}+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast k\\ y_2=\frac{c{y}_1}{gcd}-\frac{a}{gcd(a,b)}\ast k\end{array}$$

我们发现k取$[0,gcd(a,b)-1]$时符合要求
恰好有gcd(a,b)个膜b意义下的不同解