22、计算机生成投影模拟的数学模型与函数性质

计算机生成投影模拟的数学模型与函数性质

在构建了体模模型之后，我们可以进一步获取投影。为了实现这一目标，需要选择计算投影的分辨率以及每次投影后系统旋转的角度，然后按照上述步骤进行计算。

1. 扇形束投影的数学模型

从扇形束投影进行图像重建的问题在之前有过介绍。这里，我们将运用之前推导的几何关系，为数学体模制定获取扇形束投影值的方法。重要结论是，对于扇形束中的任何射线，我们都能在假设的平行束中找到等效射线。

通过方程（6.19）和（6.20），可以定义以下关系，从而用扇形束射线的特定参数来表示平行束射线的参数：
- (s = R_f \sin \beta) （10.13）
- (\alpha_p = \alpha_f + \beta) （10.14）

其中，(\beta) 是射线与扇形束主轴之间的角度，(\alpha_f) 是扇形束投影系统的旋转角度，(R_f) 是射线管运动轨迹圆的半径。

下一步是使用方程（10.13）和（10.14）确定的参数，计算数学体模所有元素的平行投影值 (p_i^p(s, \alpha_p))，具体计算方法在相关章节有描述。体模所有元素的这些投影值之和即为投影值 (p_f(\beta, \alpha_f))。

2. 锥形束螺旋投影的数学模型

对于使用锥形辐射束绕患者做螺旋运动的投影系统，有必要在三维空间中定义数学体模。这意味着原本定义构成数学体模的椭圆（平面图形）的方程（10.1），需要被椭球体（三维实体）的方程所取代。

• 以坐标系原点为中心的椭球体方程：(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2