20、CT图像重建与设备评估技术解析

CT图像重建与设备评估技术解析

1. 优化问题求解

在优化问题中，定义优化准则的函数是凸函数，这意味着我们可以使用多种方法来找到方程的最优解，并保证能达到全局最小值。选择合适的优化方法时，主要应考虑计算效率。

1.1 牛顿迭代算法

优化准则的第一个组成部分近似为二次函数，因此可以使用牛顿迭代算法。以简单的函数 (fun(x) = x^2) 为例，在算法的第 (t) 次迭代步骤中，用 (x^{(t)}) 表示变量 (x) 的值。将 (fun(x)) 在 (x^{(t)}) 处展开为泰勒级数，寻找 (fun(x)) 的极值可表示为：
[
fun_{min}(x) = \min_{x} Fun^{(t)}(x) = \min_{x} \left{ fun(x^{(t)}) + (x - x^{(t)}) fun’(x^{(t)}) + \frac{1}{2} (x - x^{(t)})^2 fun’‘(x^{(t)}) \right}
]
函数在 (x) 处存在极值的必要条件是该点的导数为 0，即：
[
\frac{dFun^{(t)}(x)}{dx} = 0
]
由此可得：
[
x^{(t)} - \frac{fun’(x^{(t)})}{fun’‘(x^{(t)})} = x^{(t)} - \frac{2x^{(t)}}{2} = 0
]
这样，优化算法在一步内就可收敛到解。若 (fun(x)) 近似为二次函数，收敛速度仍然相对较快。此时，函数 (Fun^{(t)}(x)) 取最小值时的 (x^{(t)} {min}) 只是 (fun(x)) 实际