22、不可观测 GI/M/c 队列中的均衡拒入策略分析

不可观测 GI/M/c 队列中的均衡拒入策略分析

1. 模型基础设定

在不可观测的 GI/M/c 队列系统中，顾客进入系统时会启动一个随机时长为 (T) 的不耐烦计时器，(T) 服从参数为 (\eta) 的指数分布。若在计时器到期前顾客的服务未完成，顾客将放弃系统离开。耐心计时器 (T) 的密度函数为 (r(t) = \eta e^{-\eta t})。需要注意的是，对于那些最终未接受服务就放弃的顾客，其服务时间不纳入逗留时间的计算。因此，由于顾客放弃或服务完成导致的系统有效离开率为 (\mu = \mu’ + \eta)。

2. 系统长度分布分析

2.1 到达前时刻的系统长度分布

• 概率定义 ：
  1. 设 (d_k (k \geq 0)) 表示在到达间隔时间内，所有 (c) 个服务器都忙碌时，有 (k) 个顾客离开系统的概率。
  2. 设 (a_{k + 1, j}) 表示一个到达的顾客发现系统中有 (k (k \leq c - 1)) 个顾客，而下一个到达的顾客发现系统中有 (j (0 \leq j \leq k)) 个顾客的概率，即一个顾客的到达间隔时间内恰好有 (k + 1 - j) 个顾客离开系统。
  3. 设 (b_{k + 1, j}) 表示一个到达的顾客发现系统中有 (k (k \geq c)) 个顾客，而下一个到达的顾客发现系统中有 (j (0 \leq j \leq c - 1)) 个顾客的概率。
• 概率计算公式 ：