17、二维平面应力问题分析

二维平面应力问题分析

1. 二维平面应力问题的定义

二维平面应力问题是指在薄板结构中，应力主要分布在板的平面内，而垂直于板面方向的应力可以忽略不计的情况。这类问题通常出现在厚度远小于宽度和长度的薄板结构中，例如桥梁、建筑物的楼板和航空结构中的蒙皮等。在这些结构中，应力和应变主要沿板面方向变化，而垂直方向的变化较小，因此可以简化为二维问题进行分析。

2. 数学模型与公式

2.1 控制方程

二维平面应力问题的数学模型主要包括三个部分：平衡方程、几何方程和物理方程。这些方程共同描述了结构在外部载荷作用下的应力和位移分布。

平衡方程

平衡方程描述了结构内部的力平衡条件。对于二维平面应力问题，平衡方程可以表示为：

[
\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + f_x = 0
]
[
\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + f_y = 0
]

其中，$\sigma_x$ 和 $\sigma_y$ 分别是沿 $x$ 和 $y$ 方向的正应力，$\tau_{xy}$ 是剪应力，$f_x$ 和 $f_y$ 是外部体积力。

几何方程

几何方程描述了应变和位移之间的关系。对于二维平面应力问题，几何方程可以表示为：

[
\varepsilon