18、基于滑模和微分平坦的主动车辆悬架系统鲁棒控制

基于滑模和微分平坦的主动车辆悬架系统鲁棒控制

1. 引言

主动车辆悬架系统的主要控制目标是通过增加系统的自由度，以及根据传感器获取的系统反馈和前馈信息来控制执行器的力，从而提高车辆的乘坐舒适性和操控性能。乘坐舒适性通过隔离乘客免受道路不平引起的不良振动来实现，其性能通过乘客所承受的加速度水平来评估。操控性能则通过保持轮胎与路面的良好接触来实现，以确保车辆沿轨道行驶。

以往，针对线性和非线性模型的主动车辆悬架控制系统一直是一个具有挑战性的研究课题。例如，有人提出将线性二次调节器（LQR）与非线性反步控制技术相结合的策略，该策略需要状态向量（轮胎和车身的垂直位置和速度）的信息；还有人提出了降阶控制器，通过使用加速度计测量轮胎和车身的垂直运动，在不牺牲安全性和舒适性的前提下降低了实施成本；也有人提出了考虑悬架系统非线性动力学的可变增益控制器，该控制器需要测量车身和轮胎的垂直位置，并估计其他状态和道路轮廓。

许多动态系统具有一种称为微分平坦的结构特性。这种特性等价于存在一组独立的输出，称为平坦输出，其数量与控制输入相等，并且可以完全参数化每个状态变量和控制输入。通过微分平坦性，控制器的分析和设计得到了极大的简化。特别是，将微分平坦性与滑模控制相结合，在需要鲁棒控制方案（如参数不确定性、外部干扰和未建模动态）时被广泛应用，是一种在主动车辆悬架系统中实现高振动衰减水平的合适鲁棒控制设计方法。

本文提出了一种基于滑模和微分平坦的电磁和液压主动车辆悬架系统的鲁棒主动振动控制方案。该方案需要测量车身和轮胎的垂直位移，并使用在线代数状态估计来避免使用加速度和速度传感器。道路轮廓被视为无法测量的未知输入干扰。通过Matlab进行的仿真结果展示了该控制方案下主动悬架系统的动态性能和鲁棒性。

2. 四分之一车辆悬架系统的动态模型

2.1 被动悬架系统的线性数学模型

四分之一车辆被动悬架系统的示意图如下：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(车身):::process -->|弹簧和阻尼器| B(轮胎):::process
    B -->|路面输入干扰| C(路面):::process

其数学模型由以下方程给出：
((m_s\ddot{z}_s + c_s(\dot{z}_s - \dot{z}_u) + k_s(z_s - z_u) = 0))
((m_u\ddot{z}_u - c_s(\dot{z}_s - \dot{z}_u) - k_s(z_s - z_u) + k_t(z_u - z_r) = 0))
其中，(m_s) 表示四分之一车身的质量，(m_u) 表示一个带有悬架和制动设备的车轮的质量，(c_s) 是悬架的阻尼系数，(k_s) 和 (k_t) 分别是悬架和轮胎的弹簧系数，(z_s) 和 (z_u) 分别是车身和车轮的位移，(z_r) 是路面输入干扰。

2.2 电磁主动悬架系统的线性数学模型

四分之一车辆电磁主动悬架系统的示意图如下：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(车身):::process -->|弹簧和电磁执行器| B(轮胎):::process
    B -->|路面输入干扰| C(路面):::process

电磁执行器取代了阻尼器，与弹簧形成悬架。忽略电磁执行器的摩擦力，其数学模型为：
((m_s\ddot{z}_s + k_s(z_s - z_u) = F_A))
((m_u\ddot{z}_u - k_s(z_s - z_u) + k_t(z_u - z_r) - F_A = 0))
其中，(m_s)、(m_u)、(k_s)、(k_t)、(z_s)、(z_u) 和 (z_r) 与被动悬架系统中的参数和变量含义相同，(F_A) 表示电磁执行器的力。

2.3 液压主动悬架系统的线性数学模型

四分之一车辆液压主动悬架系统的示意图如下：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(车身):::process -->|弹簧、阻尼器和液压执行器| B(轮胎):::process
    B -->|路面输入干扰| C(路面):::process

其数学模型为：
((m_s\ddot{z}_s + c_s(\dot{z}_s - \dot{z}_u) + k_s(z_s - z_u) - F_f + F_A = 0))
((m_u\ddot{z}_u - c_s(\dot{z}_s - \dot{z}_u) - k_s(z_s - z_u) + k_t(z_u - z_r) - F_f - F_A = 0))
其中，(m_s)、(m_u)、(k_s)、(k_t)、(z_s)、(z_u) 和 (z_r) 与被动悬架系统中的参数和变量含义相同，(F_A) 表示液压执行器的力，(F_f) 表示执行器内活塞与气缸壁密封产生的摩擦力，该摩擦力具有显著的大小（> 200 N），不能忽略。

3. 电磁悬架系统的控制

电磁主动悬架系统的数学模型可以用状态空间形式表示为：
(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}u(t) + \mathbf{E}z_r(t))
其中，
(\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \
-\frac{k_s}{m_s} & 0 & \frac{k_s}{m_s} & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 \
\frac{k_s}{m_u} & 0 & -\frac{k_s + k_t}{m_u} & 0
\end{bmatrix})
(\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \
\frac{1}{m_s} \
0 \
-\frac{1}{m_u}
\end{bmatrix})
(\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0 \
0 \
0 \
\frac{k_t}{m_u}
\end{bmatrix})
(\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix}
x_1(t) \
x_2(t) \
x_3(t) \
x_4(t)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
z_s(t) \
\dot{z}_s(t) \
z_u(t) \
\dot{z}_u(t)
\end{bmatrix})
(u(t) = F_A) 是电磁执行器提供的力，作为控制输入。

3.1 微分平坦性

该系统是可控的，因此具有微分平坦性。平坦输出为 (F = m_sx_1 + m_ux_3)。为了简化分析，假设 (k_tz_r = 0)。通过计算 (F) 的四阶时间导数，可以将状态变量和控制输入用平坦输出及其导数进行参数化：
(x_1 = \frac{1}{m_s}(F - \frac{m_u}{k_t}\ddot{F}))
(x_2 = \frac{1}{m_s}(\dot{F} - \frac{m_u}{k_t}\ddot{F}^{(3)}))
(x_3 = \frac{1}{m_u}(F - \frac{m_s}{k_t}\ddot{F}))
(x_4 = \frac{1}{m_u}(\dot{F} - \frac{m_s}{k_t}\ddot{F}^{(3)}))
(u = \frac{1}{k_t}(m_u + m_s)\ddot{F}^{(4)} + \frac{k_s}{m_s}\ddot{F})

3.2 滑模和微分平坦控制

控制输入 (u) 可以表示为：
(u = d_1\ddot{F}^{(4)} + d_2\ddot{F} + d_3F)
其中，(d_1 = \frac{m_u}{k_t})，(d_2 = \frac{k_s(m_s + m_u)}{k_tm_s})，(d_3 = \frac{k_s}{m_s})。

考虑一个线性切换面：
(\sigma = \beta_2\ddot{F}^{(3)} + \beta_1\ddot{F} + \beta_0F)
当 (\sigma = 0) 时，误差动态由线性微分方程控制：
(\beta_2\ddot{F}^{(3)} + \beta_1\ddot{F} + \beta_0F = 0)
选择设计增益 (\beta_2)、(\beta_1) 和 (\beta_0) 使得相关的特征多项式 (s^3 + \beta_2s^2 + \beta_1s + \beta_0) 为Hurwitz多项式，从而保证切换面上的误差动态是全局渐近稳定的。

通过连续逼近不连续的滑模控制器，使滑模面全局吸引，即满足：
(\dot{\sigma} = -\mu\mathrm{sign}(\sigma) - \gamma\sigma)
其中，(\mu) 和 (\gamma) 是正实数常数，(\mathrm{sign}) 是标准符号函数。由此得到滑模控制器：
(u = d_1v + d_2\ddot{F} + d_3F)
(v = -\beta_2\ddot{F}^{(3)} - \beta_1\ddot{F} - \beta_0F - \mu\mathrm{sign}(\sigma) - \gamma\sigma)

该控制器需要测量悬架系统的所有状态变量，即 (z_s)、(\dot{z}_s)、(z_u) 和 (\dot{z}_u)，其中 (\dot{z}_s) 和 (\dot{z}_u) 通过在线代数估计器计算得到。

4. 液压悬架系统的控制

液压主动悬架系统的数学模型也可以用状态空间形式表示为：
(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}u(t) + \mathbf{E}z_r(t))
其中，
(\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \
-\frac{k_s + c_s}{m_s} & -\frac{c_s}{m_s} & \frac{k_s + c_s}{m_s} & \frac{c_s}{m_s} \
0 & 0 & 0 & 1 \
\frac{k_s + c_s}{m_u} & \frac{c_s}{m_u} & -\frac{k_s + k_t + c_s}{m_u} & -\frac{c_s}{m_u}
\end{bmatrix})
(\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 \
\frac{1}{m_s} \
0 \
-\frac{1}{m_u}
\end{bmatrix})
(\mathbf{E} = \begin{bmatrix}
0 \
0 \
0 \
\frac{k_t}{m_u}
\end{bmatrix})
(\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix}
x_1(t) \
x_2(t) \
x_3(t) \
x_4(t)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
z_s(t) \
\dot{z}_s(t) \
z_u(t) \
\dot{z}_u(t)
\end{bmatrix})
(u(t) = F_A - F_f) 是液压执行器提供的净力，作为控制输入。

4.1 微分平坦性

该系统同样具有微分平坦性，平坦输出为 (F = m_sx_1 + m_ux_3)。假设 (k_tz_r = 0)，通过计算 (F) 的四阶时间导数，可以将状态变量和控制输入用平坦输出及其导数进行参数化：
(x_1 = \frac{1}{m_s}(F - \frac{m_u}{k_t}\ddot{F}))
(x_2 = \frac{1}{m_s}(\dot{F} - \frac{m_u}{k_t}\ddot{F}^{(3)}))
(x_3 = \frac{1}{m_u}(F - \frac{m_s}{k_t}\ddot{F}))
(x_4 = \frac{1}{m_u}(\dot{F} - \frac{m_s}{k_t}\ddot{F}^{(3)}))
(u = \frac{1}{k_t}(m_u + m_s)\ddot{F}^{(4)} + \frac{c_s(m_s + m_u)}{k_tm_s}\ddot{F}^{(3)} + \frac{k_s}{m_s}\ddot{F})

4.2 滑模和微分平坦控制

控制输入 (u) 可以表示为：
(u = \eta_1v + \eta_2\ddot{F}^{(3)} + \eta_3\ddot{F} + \eta_4\dot{F} + \eta_5F)
其中，
(\eta_1 = \frac{m_u}{k_t})
(\eta_2 = \frac{c_s(m_s + m_u)}{k_tm_s})
(\eta_3 = \frac{k_s(m_s + m_u)}{k_tm_s})
(\eta_4 = \frac{c_s}{m_s})
(\eta_5 = \frac{k_s}{m_s})

考虑线性切换面：
(\sigma = \beta_2\ddot{F}^{(3)} + \beta_1\ddot{F} + \beta_0F)
当 (\sigma = 0) 时，误差动态由线性微分方程控制：
(\beta_2\ddot{F}^{(3)} + \beta_1\ddot{F} + \beta_0F = 0)
选择设计增益 (\beta_2)、(\beta_1) 和 (\beta_0) 使得相关的特征多项式 (s^3 + \beta_2s^2 + \beta_1s + \beta_0) 为Hurwitz多项式，保证切换面上的误差动态是全局渐近稳定的。

通过连续逼近不连续的滑模控制器，使滑模面全局吸引，即满足：
(\dot{\sigma} = -\mu\mathrm{sign}(\sigma) - \gamma\sigma)
其中，(\mu) 和 (\gamma) 是正实数常数，(\mathrm{sign}) 是标准符号函数。由此得到滑模控制器：
(u = \eta_1v + \eta_2\ddot{F}^{(3)} + \eta_3\ddot{F} + \eta_4\dot{F} + \eta_5F)
(v = -\beta_2\ddot{F}^{(3)} - \beta_1\ddot{F} - \beta_0F - \mu\mathrm{sign}(\sigma) - \gamma\sigma)

该控制器需要测量悬架系统的所有状态变量，即 (z_s)、(\dot{z}_s)、(z_u) 和 (\dot{z}_u)，其中 (\dot{z}_s) 和 (\dot{z}_u) 通过在线代数估计器计算得到。

5. 主动悬架系统的在线代数状态估计

5.1 一阶时间导数的代数估计

考虑一个光滑信号 (y(t)) 的四阶近似模型：
(\frac{d^4y(t)}{dt^4} = 0)
该模型表明 (y(t)) 的行为可以用一个三次多项式族来近似，因此其四阶时间导数近似为零。通过对该模型进行拉普拉斯变换，并对复变量 (s) 进行连续求导，可以得到一个不含初始条件的表达式。将该表达式乘以 (s^{-3}) 并返回到时域，经过代数运算可以得到估计 (y(t)) 一阶时间导数的公式：
(\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t}\left(16y(t) - 72\int_{0}^{t}y(\lambda)d\lambda + 96\int_{0}^{t}\int_{0}^{\lambda_1}y(\lambda_2)d\lambda_2d\lambda_1 - 24\int_{0}^{t}\int_{0}^{\lambda_1}\int_{0}^{\lambda_2}y(\lambda_3)d\lambda_3d\lambda_2d\lambda_1\right))
该公式在 (t > 0) 时有效。由于该公式提供的是一阶导数的近似值，因此状态估计应定期计算：
(\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t - t_i}\left(16y(t) - 72\int_{t_i}^{t}y(\lambda)d\lambda + 96\int_{t_i}^{t}\int_{t_i}^{\lambda_1}y(\lambda_2)d\lambda_2d\lambda_1 - 24\int_{t_i}^{t}\int_{t_i}^{\lambda_1}\int_{t_i}^{\lambda_2}y(\lambda_3)d\lambda_3d\lambda_2d\lambda_1\right))
其中，((t_i, t)) 是估计周期。

为了获得更好、更平滑的垂直速度估计值，对于每个需要估计的速度，同时使用两个代数估计器，并采用异相策略，将两个估计器的输出适当组合以获得最终的估计值。

6. 主动悬架系统的仪器配置

实现所提出的控制器只需要测量车身的垂直位移 (z_s) 和车轮的垂直位移 (z_u)。这些变量可以使用激光传感器进行测量。不需要使用加速度计或其他类型的传感器来测量 (\dot{z}_s) 和 (\dot{z}_u)，这些变量可以通过基于 (z_s) 和 (z_u) 的代数估计器进行估计。主动悬架系统的仪器配置示意图如下：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(激光传感器):::process -->|测量| B(车身垂直位移 \(z_s\)):::process
    A -->|测量| C(车轮垂直位移 \(z_u\)):::process
    B -->|输入| D(代数估计器):::process
    C -->|输入| D
    D -->|估计| E(车身垂直速度 \(\dot{z}_s\)):::process
    D -->|估计| F(车轮垂直速度 \(\dot{z}_u\)):::process
    B -->|输入| G(控制器):::process
    C -->|输入| G
    E -->|输入| G
    F -->|输入| G
    G -->|控制| H(执行器):::process

7. 仿真结果

仿真使用MATLAB/Simulink进行，采用Runge-Kutta数值方法，固定积分步长为1ms。四分之一车辆模型的参数如下表所示：
| 参数 | 值 |
| ---- | ---- |
| 簧载质量 (m_s) | 282 kg |
| 非簧载质量 (m_u) | 45 kg |
| 弹簧刚度 (k_s) | 17900 N/m |
| 阻尼常数 (c_s) | 1000 N·s/m |
| 轮胎刚度 (k_t) | 165790 N/m |

在仿真研究中，道路干扰设置为：
(z_r = \frac{a}{2}(1 - \cos(8\pi t)))
其中，当 (0.5 \leq t \leq 0.75) 时，(a = 0.11 m)；当 (3.0 \leq t \leq 3.25) 时，(a = 0.55 m)；其他情况下 (a = 0)。

期望将悬架系统稳定在 (z_s = 0) 和 (z_u = 0) 的位置。电磁和液压悬架控制器的增益通过使闭环特征多项式为Hurwitz多项式 ((s + p)(s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2)) 来确定，其中 (p = 100)，(\zeta = 0.5)，(\omega_n = 90)，(\mu = 95)，(\gamma = 95)。

仿真结果表明，电磁和液压悬架控制器都具有良好的鲁棒性能，与被动悬架系统相比，主动车辆悬架系统具有较高的振动衰减水平。在线代数状态估计能够快速、准确地估计车身和车轮的速度，使用代数估计器的控制器性能与使用真实速度的控制器性能相当。

8. 结论

与被动悬架系统相比，所提出的控制方案能够在更短的时间内实现四分之一车身垂直位置的稳定。基于滑模和微分平坦的控制器需要所有状态变量的知识，但能够实现车身加速度和速度幅值非常显著的快速稳定。在线状态估计成功实现，但在将其用于控制器时，控制信号会出现一定程度的恶化，通过在每次积分重启时对估计值进行适当的插值可以显著改善这一问题。仿真结果还表明，该系统能够在被动悬架系统响应之前实现稳定，车身的加速度和速度幅值非常显著，并且控制器对未知干扰具有鲁棒性。

基于滑模和微分平坦的主动车辆悬架系统鲁棒控制

9. 技术要点总结

为了更清晰地理解整个主动车辆悬架系统的控制方案，下面对关键技术要点进行总结：
| 技术要点 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 控制目标 | 提高车辆乘坐舒适性和操控性能，通过隔离振动和保持轮胎与路面良好接触实现 |
| 控制方案 | 基于滑模和微分平坦的鲁棒控制，适用于电磁和液压主动悬架系统 |
| 系统模型 | 建立了四分之一车辆悬架系统的线性数学模型，包括被动、电磁和液压悬架系统 |
| 微分平坦性 | 利用系统的微分平坦性，将状态变量和控制输入用平坦输出及其导数进行参数化 |
| 滑模控制 | 设计滑模控制器，使系统在切换面上具有全局渐近稳定性和鲁棒性 |
| 状态估计 | 采用在线代数状态估计方法，避免使用加速度和速度传感器 |
| 传感器配置 | 仅使用激光传感器测量车身和车轮的垂直位移 |

10. 控制流程分析

下面通过mermaid格式的流程图来展示主动车辆悬架系统的控制流程：

graph TD
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(激光传感器测量 \(z_s\) 和 \(z_u\)):::process --> B(代数估计器估计 \(\dot{z}_s\) 和 \(\dot{z}_u\)):::process
    B --> C(控制器计算控制输入 \(u\)):::process
    C --> D(执行器执行控制动作):::process
    D --> E(系统响应):::process
    E --> F(反馈 \(z_s\) 和 \(z_u\) 到激光传感器):::process

从流程图可以看出，整个控制过程是一个闭环反馈系统。激光传感器测量车身和车轮的垂直位移 (z_s) 和 (z_u)，代数估计器根据这些测量值估计车身和车轮的垂直速度 (\dot{z}_s) 和 (\dot{z}_u)。控制器根据 (z_s)、(\dot{z}_s)、(z_u) 和 (\dot{z}_u) 计算控制输入 (u)，并将其发送给执行器。执行器执行控制动作，改变悬架系统的状态，从而产生系统响应。系统响应的结果通过反馈回路再次被激光传感器测量，形成一个闭环控制过程。

11. 性能评估与优化建议

11.1 性能评估

通过仿真结果可以看出，所提出的控制方案在振动衰减和系统稳定性方面具有显著的优势。与被动悬架系统相比，主动车辆悬架系统能够更快地稳定车身的垂直位置，并且具有更高的振动衰减水平。在线代数状态估计方法能够快速、准确地估计车身和车轮的速度，使用代数估计器的控制器性能与使用真实速度的控制器性能相当。

然而，在将在线状态估计用于控制器时，控制信号会出现一定程度的恶化。这可能是由于估计值的误差和积分重启时的不连续性导致的。

11.2 优化建议

为了进一步提高控制性能，可以考虑以下优化建议：
- 改进状态估计方法 ：可以尝试使用更高阶的近似模型来提高代数估计器的精度，或者采用其他更先进的状态估计方法，如卡尔曼滤波。
- 优化积分重启策略 ：在每次积分重启时，对估计值进行适当的插值，以减少控制信号的恶化。
- 自适应控制 ：引入自适应控制策略，根据系统的实时状态和干扰情况自动调整控制器的参数，提高系统的鲁棒性。

12. 实际应用展望

主动车辆悬架系统的鲁棒控制方案在实际应用中具有广阔的前景。通过提高车辆的乘坐舒适性和操控性能，可以提升用户的驾驶体验，减少车辆在行驶过程中的振动和颠簸，提高行车安全性。

在未来的汽车制造中，主动悬架系统有望成为标配。随着传感器技术、控制算法和执行器技术的不断发展，主动悬架系统的性能将不断提高，成本将不断降低，从而推动其在汽车市场的广泛应用。同时，该控制方案也可以应用于其他领域的振动控制，如航空航天、机器人等。

13. 总结与展望

本文介绍了一种基于滑模和微分平坦的主动车辆悬架系统鲁棒控制方案。通过建立四分之一车辆悬架系统的线性数学模型，利用系统的微分平坦性和滑模控制理论，设计了电磁和液压主动悬架系统的控制器。采用在线代数状态估计方法，避免了使用加速度和速度传感器，降低了系统的成本和复杂度。

仿真结果表明，该控制方案具有良好的鲁棒性能，能够在更短的时间内实现系统的稳定，并且具有较高的振动衰减水平。然而，在实际应用中，还需要进一步优化状态估计方法和积分重启策略，以提高控制信号的质量。

未来，随着技术的不断进步，主动车辆悬架系统的鲁棒控制方案将不断完善，为汽车行业的发展带来新的机遇和挑战。我们期待着该技术在实际应用中取得更好的效果，为人们的出行带来更加舒适和安全的体验。