71、分段线性系统在生物调控模块建模中的应用解析

分段线性系统在生物调控模块建模中的应用解析

1. 分段线性微分方程（PLDE）模型概述

分段线性微分方程（PLDE）模型是一类具有切换特性的系统。这类系统由一组线性模型构成，相对易于分析。子系统之间的切换依赖于系统状态，因此能够呈现出非常复杂的动态特性。这种系统可以直观地应用于生物系统，因为生物系统中的基本过程，如生产、降解和运输，都可以用线性函数进行建模，且精度损失较小。而复杂的调控过程，如酶对这些过程的激活和失活，则可以通过子系统之间的切换来建模。

细胞内过程的PLDE模型基本方程如下：
[
\frac{dx_i}{dt} = \alpha_i(X) - \gamma_i(X)x_i, \quad i = 1, \ldots, n
]
其中，(x_i) 表示蛋白质水平，(\alpha_i) 是蛋白质的生产速率，(\gamma_i) 是蛋白质的降解速率，(X) 是一组依赖于系统状态 (x) 的切换函数（取值为 0 或 1）。

状态空间通过阈值 (\theta_{ij}) 划分为不同的调控区域，其中 (i) 表示变量，(j) 表示该变量的阈值编号。每个子系统的模型由一组线性（仿射）函数描述。在阈值处，系统结构或参数值会发生变化，因此系统不是连续可微的。为了简化系统描述，引入了布尔型的切换变量 (Z_{ij})，用于表示变量 (i) 是否高于或低于给定阈值 (\theta_{ij})。

2. 转换图

不同区域之间的转换可以用转换图表示。转换图由节点（代表区域）和弧线（表示区域之间的转换）组成。对于分段线性模型，转换图很容易创建，因为它利用了每个区域中焦点的位置信息。以一个具有两个变量和两个阈值的简单模型为例，转换图可能呈现出从所有区域到区域 ({11})（两个变量均处于高水平）的转换。基于这个图，我们可以推测区域 ({11}) 存在一个稳定点。

3. PLDE 系统中的稳定点

PLDE 系统中存在两种类型的稳定点：规则稳定点（RSPs）和奇异稳定点（SSPs）。

规则稳定点位于给定区域内，可以通过求解所有区域的平衡状态条件来计算：
[
\frac{dx_i}{dt} = 0, \quad i = 1, \ldots, N
]
每个区域轨迹的最终点称为焦点，其值为：
[
\beta_i = \frac{\alpha_i}{\gamma_i}
]
如果焦点位于给定区域内，则它是渐近稳定的规则稳定点，附近的轨迹将趋向于该点。需要注意的是，吸引域并不等同于区域本身，因此在某些存在 RSP 的区域中，轨迹可能会移动到其他区域并到达另一个稳定点。

奇异稳定点的确定要困难得多，因为它们位于阈值处或多个阈值的交叉处。使用 Mestl 及其同事提出的方法，可以在 PLDE 系统中定位 SSP。在最简单的情况下，SSP 位于单个阈值处。如果某个变量直接依赖于其阈值，则系统在该阈值处可能存在 SSP。具体而言，当变量 (x_i = \theta_{ij}) 时，如果导数 (\frac{\partial F_i}{\partial Z_{ij}} > 0)（其中 (F_i = \frac{dx_i}{dt})，(Z_{ij}) 是切换变量），则系统在阈值 (\theta_{ij}) 处存在 SSP。

由于 PLDE 系统不连续，在计算导数时，需要用连续的 S 形函数近似阶跃函数，其取值范围为 ([0, 1])。因此，切换函数 (Z_{ij} = Z(x_i, \theta_{ij}, \delta)) 定义为：
[
Z_{ij} =
\begin{cases}
0, & x_i \leq \theta_{ij} - \delta \
\text{从 0 单调增加到 1}, & x_i \in (\theta_{ij} - \delta, \theta_{ij} + \delta) \
1, & x_i \geq \theta_{ij} + \delta
\end{cases}
]
其中，参数 (\delta) 是与阈值的距离。当 (\delta) 接近 0 时，函数 (Z_{ij}) 是阶跃函数的良好近似。

如果区域内的线性模型不仅包含简单的生产和降解函数，还包括基于其他变量的生产、分子的运输或变化等，初步区域选择算法将不再适用。在这种情况下，应使用以下算法分析所有区域：
1. 通过用适当的阈值替换变量，创建描述给定区域的一组微分方程。
2. 确定与分析阈值无关的切换变量的值（0 或 1）。
3. 将导数设为 0。
4. 计算切换变量的值。
5. 检查切换变量的值是否在区间 ([0, 1]) 内。
6. 计算其余变量的值，并检查它们是否在假定的区间内。

如果系统中存在多个阈值交叉处的 SSP，则可能存在极限环。然而，由于振荡的稳定性取决于其他阈值的位置，因此无法确定围绕 SSP 的振荡是否稳定。在某些情况下，振荡轨迹可能会触及阈值并跳转到另一个区域，被另一个稳定点强烈吸引。

4. 简单蛋白质调控系统示例

为了说明 PLDE 模型的分析方法，我们创建了一个简单的蛋白质调控系统。该系统由两种相互激活生产的蛋白质 (x_1) 和 (x_2) 组成：
[
\frac{dx_1}{dt} = \alpha_1 + \alpha_{12} \cdot Z_2 - \gamma_1x_1
]
[
\frac{dx_2}{dt} = \alpha_2 + \alpha_{21} \cdot Z_1 - \gamma_2x_2
]
其中，(Z_1) 和 (Z_2) 是切换变量，分别定义了变量 (x_1) 和 (x_2) 相对于其阈值 (\theta_1) 和 (\theta_2) 的水平。参数值如下表所示：
| 参数 | 描述 | 值 | 单位 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (\alpha_1) | (x_1) 基本生产速率 | 100 | 1/s |
| (\alpha_{12}) | (x_1) 诱导生产速率 | 100 | 1/s |
| (\alpha_2) | (x_2) 基本生产速率 | 50 | 1/s |
| (\alpha_{21}) | (x_2) 诱导生产速率 | 80 | 1/s |
| (\gamma_1) | (x_1) 降解速率 | 3 | 1/s |
| (\gamma_2) | (x_2) 降解速率 | 1.5 | 1/s |
| (\theta_1) | (x_1) 阈值 | 50 | 分子 |
| (\theta_2) | (x_2) 阈值 | 50 | 分子 |

为了定位 RSP，我们将导数设为 0 并计算所有区域的焦点，结果如下表所示：
| 起始区域 | (x_1) | (x_2) | 终止区域 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| ({00}) | 33.3 | 25 | ({00}) |
| ({01}) | 66.7 | 25 | ({10}) |
| ({10}) | 33.3 | 65 | ({01}) |
| ({11}) | 66.7 | 65 | ({11}) |

在两个区域中，焦点位于区域内部，因此系统中存在两个 RSP。其余两个区域的轨迹趋向于阈值，在阈值处参数值会发生变化。

为了寻找奇异稳定点，我们需要分析两个阈值及其交叉点。由于变量 (x_1) 不直接依赖于切换变量 (Z_1)，因此阈值 (\theta_1) 处不存在 SSP。同理，阈值 (\theta_2) 处也不存在 SSP，因为变量 (x_2) 不依赖于 (Z_2)。为了检查阈值 (\theta_1) 和 (\theta_2) 的交叉处是否存在 SSP，我们按照上述算法进行分析。首先，形成描述该区域的方程：
[
0 = \alpha_1 + \alpha_{12} \cdot Z_2 - \gamma_1 \cdot \theta_1
]
[
0 = \alpha_2 + \alpha_{21} \cdot Z_1 - \gamma_2 \cdot \theta_2
]
代入参数值可得：
[
0 = 100 + 100 \cdot Z_2 - 3 \cdot 50
]
[
0 = 50 + 80 \cdot Z_1 - 1.5 \cdot 50
]
由此计算出切换变量的值：(Z_2 = -0.5)，(Z_1 = -0.3125)。由于两个切换变量的值均不在区间 ([0, 1]) 内，因此该区域不存在 SSP。在相空间图中，可以标记出 RSP 以及根据初始条件趋向于它们的示例轨迹。

mermaid 流程图如下：

graph LR
    A[开始] --> B[创建微分方程]
    B --> C[确定无关切换变量值]
    C --> D[导数设为 0]
    D --> E[计算切换变量值]
    E --> F{切换变量值在[0,1]内?}
    F -- 是 --> G[计算其余变量值]
    F -- 否 --> H[无 SSP]
    G --> I{其余变量在假定区间内?}
    I -- 是 --> J[存在 SSP]
    I -- 否 --> H

5. PLDE 模型在 p53 调控模块中的应用

PLDE 模型适用于过程速率随调控因子数量快速变化的生物系统，例如 p53 调控模块。我们可以创建一个简化的 p53 水平调控 PLDE 模型。

该模型包含 4 个变量：
- (P)：蛋白质 p53
- (C)：细胞质中的蛋白质 MDM2
- (N)：细胞核中的蛋白质 MDM2
- (T)：蛋白质 PTEN

以及 4 个阈值，将状态空间划分为 12 个调控区域。为了研究系统对不同外界胁迫的响应，引入了外部应激 (R)，它会导致细胞损伤并增加 MDM2（细胞质和细胞核中的）的降解。

每个区域的系统由一组具有不同参数值的线性微分方程描述。当蛋白质水平穿过阈值时，通过改变过程速率来模拟一个变量对另一个变量的影响。依赖于系统状态的参数用星号（( )）表示。模型的一般形式如下：
[
\frac{dP(t)}{dt} = p_1 - d_1^ (N(t))P(t)
]
[
\frac{dC(t)}{dt} = p_2^ (P(t)) - k_1^ (T(t))C(t) - d_2(1 + R)C(t)
]
[
\frac{dN(t)}{dt} = k_1^ (T(t))C(t) - d_2(1 + R)N(t)
]
[
\frac{dT(t)}{dt} = p_3^ (P(t)) - d_3T(t)
]

模型中的 4 个阈值分别为：
- 蛋白质 p53 的阈值 (\theta_P)，反映 MDM2（(C)）和 PTEN（(T)）生产的激活。
- PTEN 的阈值 (\theta_T)，将系统分为 MDM2 向细胞核正常 - 快速运输和受限运输的区域。
- 细胞核中 MDM2 的两个阈值 (\theta_{N1}) 和 (\theta_{N2})，区分 3 种 p53 降解速率：慢、中、快。

相应地，存在 4 个切换变量 (Z_P)、(Z_{N1})、(Z_{N2}) 和 (Z_T)，用于定义给定变量是否高于或低于其阈值。每个区域可以用一个 3 值向量 (B = {B_P, B_N, B_T}) 描述，其中 (B_P) 和 (B_T) 的值为 0 或 1，(B_N) 的值为 0、1 或 2。例如，区域 ({011}) 表示子空间 (P < \theta_P)，(\theta_{N1} < N < \theta_{N2})，(T \geq \theta_T)。

依赖于状态空间的参数值描述如下：
[
p_2^ = p_{20} + p_{21}Z_P
]
[
p_3^ = p_{30} + p_{31}Z_P
]
[
d_1^ = d_{10} + d_{11}Z_{N1} + d_{12}Z_{N2}
]
[
k_1^ = k_{10} - k_{11}Z_T
]
其中：
[
Z_P =
\begin{cases}
0, & P < \theta_P \
1, & P \geq \theta_P
\end{cases}
]
[
Z_{N1} =
\begin{cases}
0, & N < \theta_{N1} \
1, & N \geq \theta_{N1}
\end{cases}
]
[
Z_{N2} =
\begin{cases}
0, & N < \theta_{N2} \
1, & N \geq \theta_{N2}
\end{cases}
]
[
Z_T =
\begin{cases}
0, & T < \theta_T \
1, & T \geq \theta_T
\end{cases}
]

模型的参数值和阈值如下表所示：
| 参数 | 描述 | 值 | 单位 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (p_1) | (P) 的基本生产速率 | 8.8 | 1/s |
| (p_{20}) | (C) 的基本生产速率 | 2.4 | 1/s |
| (p_{21}) | (P) 诱导的 (C) 生产速率 | 21.6 | 1/s |
| (p_{30}) | (T) 的基本生产速率 | 0.5172 | 1/s |
| (p_{31}) | (P) 诱导的 (T) 生产速率 | 3.6204 | 1/s |
| (d_{10}) | (P) 的基本降解速率 | (9.8395 \times 10^{-5}) | 1/s |
| (d_{11}) | 第一个 (N) 诱导的 (P) 降解速率 | (6.5435 \times 10^{-5}) | 1/s |
| (d_{12}) | 第二个 (N) 诱导的 (P) 降解速率 | (1.6283 \times 10^{-4}) | 1/s |
| (d_2) | (C) 和 (N) 的降解速率 | (1.375 \times 10^{-5}) | 1/s |
| (d_3) | (T) 的降解速率 | (3 \times 10^{-5}) | 1/s |
| (k_{10}) | (N) 的基本运输速率 | (1.5 \times 10^{-4}) | 1/s |
| (k_{11}) | (T) 阻断的 (N) 运输速率 | (1.4713 \times 10^{-4}) | 1/s |

阈值	描述	值	单位
(\theta_P)	(P) 的阈值	(4.5 \times 10^4)	分子
(\theta_{N1})	(N) 的第一个阈值	(4 \times 10^4)	分子
(\theta_{N2})	(N) 的第二个阈值	(8 \times 10^4)	分子
(\theta_T)	(T) 的阈值	(10^5)	分子

通过改变参数 (R) 的值，我们可以研究不同应激水平对细胞响应的影响。生物实验表明，不同水平的 DNA 损伤会激活不同的细胞响应。该模型的结果可以模拟从 0 到无穷大的应激值下的不同行为。

在无外部应激（(R = 0) a.u.）的系统中，区域 ({020}) 存在一个规则稳定点。在该区域中，蛋白质 p53 和 PTEN 的水平较低，而蛋白质 MDM2 的水平较高，这与生物学观察结果一致。这种配置的转换图显示，轨迹会趋向于区域 ({020})。此外，还存在区域 ({021})、({011})、({111}) 和 ({121}) 之间的闭合转换序列。

为了检查是否存在稳定振荡，需要确定是否存在 SSP。在中等应激（(R = 5) a.u.）的情况下，区域之间的转换完全不同。轨迹趋向于区域 ({101})，并且对于低 PTEN 水平存在一个闭合的区域序列：({020})、({010})、({110}) 和 ({120})。

对整个应激参数值范围的复杂分析表明，根据应激水平的不同，RSP 可能存在于 3 个不同的区域：
- 当 (R \in [0, 0.8635)) 时，RSP 位于区域 ({020})。
- 当 (R \in (1.0322, 1.9154)) 时，RSP 位于区域 ({111})。
- 当 (R \in (1.9154, +\infty)) 时，RSP 位于区域 ({101})。

不同应激水平下 RSP 中 p53 的精确值如下表所示：
| 应激（(R) [a.u.]） | 区域 | (P_s) |
| ---- | ---- | ---- |
| (0 - 0.8635) | ([020]) | (3.3559 \times 10^4) |
| (1.0322 - 1.9154) | ([111]) | (5.3714 \times 10^4) |
| (1.9154 - +\infty) | ([101]) | (8.9435 \times 10^4) |

当 (R \in [0.8635, 1.0322)) 时，系统中不存在规则稳定点，因此系统响应无法稳定，而是在极限环中振荡。如果应激水平较低（小于 0.8635 a.u.），RSP 位于区域 ({020})，对应于正常、无应激的细胞。此时 MDM2 水平较高，p53 降解迅速，其水平较低。随着应激剂量的增加，RSP 会移动到 p53 水平较高、MDM2 水平较低的区域：({111})，然后到区域 ({101})。当应激高于 1.9154 a.u. 时，细胞核中的 MDM2 迅速降解，p53 的活性足以积累 PTEN 并阻断 MDM2 的运输。因此，p53 可以进一步积累，区域 ({101}) 中稳定点的 p53 水平非常高。

在生物学实验中，外部应激后 p53 水平会升高。低应激导致的 DNA 损伤较小，因此 p53 的升高相对较小，细胞会诱导 DNA 修复和细胞周期阻滞。随着应激剂量的增加，DNA 损伤加剧，p53 水平可能会达到非常高的值。对于高应激值，p53 的积累足以诱导细胞死亡。

奇异稳定点可能存在于区域之间的阈值处。在该分析系统中，SSP 可能存在于阈值中间、两个或三个阈值的交叉处。由于所有变量的时间导数的导数 (\frac{\partial F_i}{\partial Z_{ij}}) 都等于 0（因为任何变量都不直接由其阈值调节），因此系统在单个阈值处不存在 SSP。为了确定两个或三个阈值交叉处是否存在 SSP，需要使用前面描述的算法分析所有存在的区域。对于整个应激 (R) 范围，SSP 仅可能存在于 2 个区域：

SSP 1: ([\theta_P, \theta_{N2}, T < \theta_T])
第一个奇异稳定点存在于 p53 阈值 (\theta_P) 和细胞核中 MDM2 阈值 (\theta_{N2}) 的交叉处，且 PTEN 水平必须低于 (\theta_T)。描述该状态的方程如下：
[
0 = p_1 - (d_{10} + d_{12}Z_{N2})\theta_P
]
[
0 = p_{20} + p_{21}Z_P - (k_{10} + d_2(1 + R))C
]
[
0 = k_{10}C - d_2(1 + R)\theta_{N2}
]
[
0 = p_{30} + p_{31}Z_P - d_3T
]
当应激 (R \in (0.8635, 7.7038)) a.u. 时，切换变量 (Z_P) 和 (Z_{N2}) 的值在区间 ((0, 1)) 内，且 (T < \theta_T)。

SSP 2: ([\theta_P, \theta_{N2}, T > \theta_T])
第二个奇异稳定点存在于 (P = \theta_P)，(N = \theta_{N2}) 且 (T > \theta_T) 的情况下。描述该区域的方程如下：
[
0 = p_1 - (d_{10} + d_{12}Z_{N2})\theta_P
]
[
0 = p_{20} + p_{21}Z_P - (k_{10} - k_{11} + d_2(1 + R))C
]
[
0 = (k_{10} - k_{11})C - d_2(1 + R)\theta_{N2}
]
[
0 = p_{30} + p_{31}Z_P - d_3T
]
当应激 (R \in (0.7059, 1.0322)) a.u. 时，切换变量 (Z_P) 和 (Z_{N2}) 的值在区间 ((0, 1)) 内，且变量 (T > \theta_T)。这个 SSP 仅在非常小的应激范围内存在，对系统动态的影响可以忽略不计。SSP 中变量的值如下表所示：
| (R) | (P) | (N) | (T) |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| (0.8635 - 7.7038) | (\theta_P) | (\theta_{N2}) | (T < \theta_T) |
| (0.7059 - 1.0322) | (\theta_P) | (\theta_{N2}) | (T > \theta_T) |

最后一种可能是 SSP 位于三个阈值的交叉处。在分析的系统中，存在两个这样的区域：([\theta_P, \theta_{N1}, \theta_T]) 和 ([\theta_P, \theta_{N2}, \theta_T])。基于计算，在 (\theta_{N2}) 处的区域可以假设存在 SSP，但它是不稳定的，且未观察到振荡。

由于系统中阈值交叉处存在两个 SSP，因此可能存在两种类型的振荡。区域 ([\theta_P, \theta_{N2}, T < \theta_T]) 中的 SSP 存在于更大的应激范围内，并且具有更大的吸引域。围绕这个稳定点的振荡发生在 p53 水平的中低之间，此时 PTEN 水平较低。这种振荡源于 p53 和 MDM2 之间的负反馈环。由于应激后 p53 的振荡，最终的凋亡决策可以推迟。即使 p53 水平的微小增加也可以激活应激响应，诱导负责 DNA 修复、细胞周期阻滞和自我调节（如 MDM2 和 PTEN）的蛋白质转录。如果损伤较小，p53 和 MDM2 水平的振荡可以使细胞修复并恢复到正常状态。在细胞损伤严重的情况下，细胞响应的第一阶段也会出现 p53 振荡。细胞尝试修复 DNA，但如果无法修复，平均 p53 水平会足够高，从而诱导 PTEN 积累，导致 MDM2 运输受阻。细胞核中 MDM2 水平的大幅降低会导致 p53 水平稳定升高，从而激活细胞死亡程序。需要注意的是，该模型未包含 DNA 损伤变量，因此无法呈现恢复到正常状态的情况，并且小损伤后的 p53 振荡是无衰减的。尽管如此，应激发生后的关键行为与生物学实验结果相似。

第二个奇异稳定点代表了在高 PTEN 水平下 p53 和 MDM2 之间的振荡。这个 SSP 仅在非常狭窄的外部应激 (R) 范围内存在。此外，在正常细胞中未观察到低 p53 水平时 PTEN 水平高于阈值 (\theta_T) 的情况。实际上，PTEN 是在 p53 激活基因后增加的，因此这些理论结果与正常细胞行为不符。

6. 分岔图

根据应激 (R) 的不同，稳定点 RSP 和 SSP 在状态空间中的位置也会不同。在小应激值下，系统中仅存在一个位于区域 ({020}) 的 RSP，其特征是 p53 和 PTEN 水平较低，MDM2 水平较高。随着 (R) 的增加，系统中会出现第二个点：SSP。根据初始条件，轨迹可以在 RSP 处稳定下来，或者围绕 SSP 振荡。随着 (R) 的进一步增加，RSP 消失，唯一可能的响应是无衰减的振荡。在狭窄的 (R) 范围内，系统中存在两个 SSP，因此对于不同的蛋白质水平存在两个不同的极限环。随着 (R) 的进一步增加，区域 ({111}) 会出现 RSP，其特征是 p53 水平升高。当应激 (R) 大于 1.9154 时，RSP 从区域 ({111}) 移动到区域 ({101})，此时 p53 水平非常高。SSP 仅在 (R) 小于 7.7038 时存在，这意味着在非常大的应激下，唯一可能的响应是 p53 水平的大幅升高，这是细胞凋亡的决定因素。蛋白质 p53 水平与应激的关系如图所示，其中灰色区域表示围绕两个 SSP 的振荡范围。

随着 (R) 的增加，其他变量在稳定点的水平和振荡范围也会发生变化。PTEN 水平与应激 (R) 的关系如图所示。在 RSP 中，PTEN 水平是稳定的。围绕 SSP 的 PTEN 振荡范围随 (R) 增加而增大。此外，围绕第二个 SSP 的振荡非常接近阈值 (\theta_T)。

在分岔图中可以看到，当 (R \in (0.8635, 0.95)) 时，围绕第二个 SSP 不存在振荡。这是因为 SSP 靠近阈值 (\theta_T)，轨迹在极限环中移动时会触及阈值 (\theta_T)，并跳转到一个对另一个稳定点有强烈吸引的区域。随着 (R) 的增加，第二个 SSP 向更高的 PTEN 值移动，当 (R) 大于 0.93 时，轨迹不会穿过 (\theta_T)，因此可以观察到稳定的振荡。

仅计算稳定点的位置不足以确定围绕给定 SSP 是否存在振荡。对于分段线性模型，通常无法解析确定 SSP 的吸引域。数值模拟可以帮助我们找到给定系统的可能振荡响应。在某些情况下，吸引域非常小，例如区域 ([\theta_P, \theta_{N2}, T > \theta_T]) 中的 SSP。

7. 数值结果

为了说明分析模型的结果，我们对两种不同的 (R) 值和不同的初始条件进行了细胞响应的数值研究。当 (R = 1) a.u. 时，系统中存在两个 SSP，因此可以观察到围绕它们的两种类型的振荡。值得注意的是，两个 SSP 都位于阈值交叉处 (\theta_P) 和 (\theta_{N2})，但一个在 (\theta_T) 之上，另一个在 (\theta_T) 之下。因此，极限环的位置不同，这可以在 p53 的时间进程图中看到。

对于较高的 (R) 值（例如 (R = 5) a.u.），系统中存在一个 RSP 和一个 SSP。根据初始条件，轨迹可以在区域 ({101}) 中稳定下来，或者在极限环中振荡。在以往的研究中，我们展示了将细胞群体划分为具有不同响应类型的子群体。在生物学实验中，细胞响应通常并不相同，而是存在根据细胞特性具有不同行为的细胞子群体。

综上所述，分段线性系统模型为生物调控模块的研究提供了一种有效的工具。通过对 PLDE 模型的分析，我们可以深入理解生物系统在不同应激条件下的动态行为，为进一步的生物学研究和药物开发提供理论支持。未来的研究可以进一步探索如何优化模型参数，提高模型对生物系统的预测准确性，以及将该模型应用于更复杂的生物调控网络。

分段线性系统在生物调控模块建模中的应用解析

8. 总结与展望

分段线性微分方程（PLDE）模型作为一种研究生物调控模块的有效工具，在模拟生物系统复杂动态方面展现出了独特的优势。它能够通过子系统间的切换，精确描述生物过程中的复杂调控机制，如蛋白质的生产、降解和运输等。

在确定稳定点方面，规则稳定点（RSPs）和奇异稳定点（SSPs）的分析为理解系统的动态行为提供了关键信息。RSPs 可以通过求解平衡状态条件来定位，而 SSPs 的确定则需要更为复杂的分析，特别是在多个阈值交叉的情况下。例如，在 p53 调控模块模型中，不同应激水平下 RSPs 和 SSPs 的位置变化，深刻反映了系统对外部刺激的响应机制。

分岔图的分析进一步揭示了系统在不同应激水平下的动态变化。随着应激 (R) 的增加，系统的稳定点类型和位置发生改变，从而导致不同的动态行为，如稳定状态、振荡等。这为研究生物系统的适应性和稳定性提供了重要的理论依据。

数值模拟结果与生物学实验结果的相似性，验证了 PLDE 模型的有效性。然而，模型也存在一定的局限性，例如未包含 DNA 损伤变量，导致无法完全呈现细胞恢复到正常状态的过程。

未来的研究可以从以下几个方面展开：
- 模型参数优化 ：通过更多的生物学实验数据，进一步优化模型参数，提高模型对生物系统的预测准确性。
- 复杂网络应用 ：将 PLDE 模型应用于更复杂的生物调控网络，如信号转导网络、基因调控网络等，以深入理解生物系统的整体动态。
- 多尺度建模 ：结合微观和宏观层面的信息，开展多尺度建模，更全面地描述生物系统的行为。

9. 关键要点回顾

为了帮助读者更好地理解本文的核心内容，以下是对关键要点的回顾：
- PLDE 模型基础 ：由一组线性模型组成，子系统切换依赖于系统状态，适用于描述生物系统的复杂调控。
- 稳定点类型 ：
- 规则稳定点（RSPs） ：位于给定区域内，通过求解平衡状态条件计算。
- 奇异稳定点（SSPs） ：位于阈值处或多个阈值交叉处，确定较为复杂。
- 分析方法 ：
- 转换图 ：用于展示区域之间的转换关系。
- 分岔图 ：揭示系统在不同应激水平下的动态变化。
- 数值模拟 ：验证模型的有效性，帮助确定系统的振荡响应。
- 应用案例 ：p53 调控模块模型，展示了不同应激水平下系统的动态行为，与生物学实验结果相似。

10. 常见问题解答

在研究 PLDE 模型的过程中，可能会遇到一些常见问题，以下是对这些问题的解答：
- 如何确定 SSP 的存在性？
- 对于单个阈值，若变量直接依赖于其阈值且导数 (\frac{\partial F_i}{\partial Z_{ij}} > 0)，则可能存在 SSP。
- 对于多个阈值交叉的情况，需要使用特定算法分析所有存在的区域，检查切换变量和其余变量的值是否满足条件。
- 分岔图中振荡消失的原因是什么？
- 当 SSP 靠近阈值时，轨迹在振荡过程中可能会触及阈值，跳转到对另一个稳定点有强烈吸引的区域，从而导致振荡消失。随着应激增加，SSP 位置改变，轨迹不再穿过阈值，振荡又会出现。
- 模型的局限性如何解决？
- 可以通过引入更多的变量和参数，如 DNA 损伤变量，来完善模型。同时，结合更多的生物学实验数据进行参数优化，提高模型的准确性。

11. 流程图总结

为了更清晰地展示 PLDE 模型分析的整体流程，以下是一个 mermaid 流程图：

graph LR
    A[建立 PLDE 模型] --> B[划分状态空间]
    B --> C[确定阈值和切换变量]
    C --> D[计算稳定点]
    D --> E{是否存在 SSP?}
    E -- 是 --> F[分析 SSP 特性]
    E -- 否 --> G[分析 RSP 特性]
    F --> H[绘制分岔图]
    G --> H
    H --> I[数值模拟验证]
    I --> J[结果分析与应用]

12. 表格总结

以下表格总结了 p53 调控模块模型在不同应激水平下的关键信息：
| 应激 (R) 范围 | 稳定点类型 | 稳定点位置 | p53 水平 | 系统行为 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| (0 - 0.8635) | RSP | ({020}) | 低 | 稳定状态，对应正常细胞 |
| (0.8635 - 1.0322) | 无 RSP | - | - | 振荡状态 |
| (1.0322 - 1.9154) | RSP | ({111}) | 中 | 稳定状态，p53 水平升高 |
| (1.9154 - +\infty) | RSP | ({101}) | 高 | 稳定状态，可能诱导细胞凋亡 |
| (0.7059 - 1.0322) | SSP | ([\theta_P, \theta_{N2}, T > \theta_T]) | - | 振荡状态，影响较小 |
| (0.8635 - 7.7038) | SSP | ([\theta_P, \theta_{N2}, T < \theta_T]) | - | 振荡状态，影响较大 |

通过以上的总结和分析，我们可以更全面地理解 PLDE 模型在生物调控模块建模中的应用，以及如何利用该模型深入研究生物系统的动态行为。同时，也为未来的研究提供了方向和思路。希望本文能够为相关领域的研究人员和爱好者提供有价值的参考。