64、计算智能方法在控制与诊断中的应用

计算智能方法在控制与诊断中的应用

1. 引言

计算智能方法在自动化领域有着广泛应用，尤其是模糊逻辑和机器学习算法，在连续单环系统的自适应控制以及机器状态诊断方面展现出重要价值。通过运用绝对稳定性准则和模糊系统建模的分析方法，能够设计出具有输出反馈的模糊自适应控制器，得到易于解释的模糊控制规则，且控制器的设计过程常可实现自动化。

在机器状态诊断方面，一些机器学习方法，特别是分类器，可用于实时诊断机器部件状态和监测航空航天等行业的工艺流程，包括异常检测。不过，工业环境下获取的数据存在诸多难题，如数据量大、实时性强、不平衡、干扰严重、数据漂移等，这些问题尚未得到令人满意的解决。

2. 自适应模糊控制研究特点

非线性控制系统中常用的稳定性分析技术，如小增益定理、Lyapunov理论、Nyquist、Popov或圆准则等，为模糊自适应系统的设计提供了可能。在设计模糊控制器时，需确保其规则的可解释性，否则非线性非模糊控制器的设计方法可能更具吸引力。

模糊控制最初被提出时，无需对被控对象有深入了解，但难以保证稳定性和期望的控制质量。这里假设对被控对象的参数有一定的了解，采用直接自适应控制，通过控制系统中的信号来调整控制器参数，参考模型决定闭环系统的期望质量，使用类似PID的模糊控制器（PID - FC）。

PID - FC需满足特定的扇形条件，其设计方法是对以往类似方法的重要扩展，证明了PID - FC控制系统的稳定性条件能保证控制误差信号在适应过程中趋于零，同时制定了不太严格且更通用的非线性模糊控制器条件，并推广了梯度下降方法，还实现了自适应模糊控制器设计过程中最繁琐步骤的自动化。

3. 包含PID - FC控制器或其变体的控制系统

之前提出的使用模糊控制器进行自适应控制的方法存在一些缺点，如控制系统可能存在非零稳态误差、缺乏噪声抑制能力，以及参考系统的选择基于试错法。为避免这些问题，这里考虑包含PID - FC（或其变体）的反馈系统。

控制器类型由开关(p_1,\cdots,p_5)的位置决定，主要研究具有两个或三个输入的控制器，即PID - FC、PI - FC或PD - FC。每种控制器类型都关联一个多项式(\hat{N}(s))和一个常数(I)：
| 控制器类型 | (\hat{N}(s)) | (I) |
| ---- | ---- | ---- |
| PID - FC | (1 + q_1s + q_2s^2) | (1) |
| PI - FC | (1 + q_1s) | (1) |
| PD - FC | (1 + q_1s) | (0) |

原系统模型可描述为(e(t) = z(t) - (g * \phi)(t))，其中(e(t))为控制误差，(w_0(t))为参考输入信号，(y(t))为被控对象输出，(z(t))为(w_0)与零输入响应的差值，((g * \phi)(t))为卷积运算。人工脉冲响应(g(t))由(g(t) = (1 - I)g_0(t) + I\int_{0}^{t}g_0(\zeta)d\zeta)给出。

若模糊控制器的输入为(e(t))、(\dot{e}(t))和(\ddot{e}(t))，输出为(\phi(t))，当存在四个非负常数(\beta)、(K)、(q_1)和(q_2)，使得不等式((Kh + \beta h - \phi)(\phi - \beta h) \geq 0)成立时，该模糊控制器为有界扇形([\beta, \beta + K] \subseteq [0, \infty))内的非线性函数，其中人工信号(h(t) = e + q_1\dot{e} + q_2\ddot{e})。

以下是该控制系统的流程：

graph LR
    A[参考输入信号w0] --> B[计算控制误差e]
    B --> C[PID - FC控制器]
    C --> D[被控对象]
    D --> E[输出y]
    E --> F[反馈到误差计算]

4. 绝对稳定性条件

为保证闭环系统中控制误差有界且在稳态时为零，对包含线性被控对象和PID - FC（或其变体）的系统进行研究。假设被控对象的传递函数为(\hat{g}_0(s) = [\hat{A}(s)]^{-1}\hat{B}(s))，其中(\hat{A}(s))和(\hat{B}(s))为无公共零点的多项式，且(m < n)（(m)和(n)分别为(\hat{B}(s))和(\hat{A}(s))的次数）。

原闭环系统可转化为等价形式(h(t) = z_1(t) - (g_1 * \phi_1)(t))，其中(\phi_1(t) = \phi(t)/K - \beta h(t)/K)满足扇形不等式((h(t) - \phi_1(t))\phi_1(t) \geq 0)，即(\phi_1(t))属于扇形([0, 1])，(z_1(t))和(g_1(t))分别由(z_1(t) = L^{-1}\left(\frac{\hat{N}(s)\hat{z}(s)}{1 + \beta\hat{N}(s)\hat{g}(s)}\right))和(g_1(t) = L^{-1}\left(\frac{K\hat{N}(s)\hat{g}(s)}{1 + \beta\hat{N}(s)\hat{g}(s)}\right))给出，(\hat{N}(s) = 1 + q_1s + q_2s^2)。

系统需满足以下条件：
1. 广义Hurwitz条件（GHC）：(1 + r\hat{N}(s)\hat{g}(s) = 0 \Rightarrow Re s < 0, \forall r \in [\beta, \beta + K])。
2. (g_1 \in L^1(0, \infty) \cap L^2(0, \infty))，(var_{[0,\infty)}g_1(t) < \infty)。
3. (z_1 \in L^2(0, \infty))，存在(M)使得(\vert dz_1/dt\vert < M)，且(\lim_{t \to \infty}z_1(t) = 0)。
4. 频率条件：(\inf_{\omega} Re(\hat{g}_1(j\omega) + 1) > 0)。

若满足上述条件，则(e \in L^2(0, \infty))，(\vert e\vert < \infty)，且(\lim_{t \to \infty}e(t) = 0)。对于PD - FC或PID - FC，需保证(n = n_1 \geq m + 2)；对于PI - FC，需保证(n = n_1 \geq m + 1)，才能满足条件2。

5. 作为P1 - TS类型基于规则系统的模糊控制器

为使不等式((Kh + \beta h - \phi)(\phi - \beta h) \geq 0)成立，将模糊控制器视为P1 - TS系统。P1 - TS系统可在FPGA技术中实现为高速低成本的硬件设备，用于控制或决策支持系统的综合。

单输入模糊控制器

先研究最简单的单输入(h)和输出(\phi)的模糊控制器。输入论域为(D_h = \bigcup_{i = 1}^{\alpha - 1}[H_i, H_{i + 1}])，模糊规则为“如果(h)是(M_i)，则(\phi = Q_i)”，其中(M_i)为三角形隶属函数，构成强模糊划分。

控制器输出为(\phi(h) = \frac{\sum_{i = 1}^{\alpha}M_i(h)Q_i}{\sum_{i = 1}^{\alpha}M_i(h)})。对于(h \in [H_i, H_{i + 1}])，在P1 - TS系统中有：
- 生成器：(g(h) = [1, h]^T \in R^2)。
- 规则结果的实向量：(Q_i = [Q_i, Q_{i + 1}]^T \in R^2)。
- 常数系数向量：(\Theta_i = [\theta_{i,0}, \theta_{i,1}]^T \in R^2)。
- 模糊系统的基本矩阵：(\Omega_i = [g(H_i), g(H_{i + 1})] \in R^{2\times2})。

控制器输出为(\phi_i(h) = \Theta_i^T g(h) = Q_i^T \Omega_i^{-1} g(h) = \theta_{i,0} + \theta_{i,1}h)。若(\lambda_i = \frac{1}{K}(\frac{Q_i}{H_i} - \beta) \in [0, 1])，则控制器为有界扇形内的非线性函数。给定一组点(H_i)和系数(\lambda_i)，控制器(S = {(H_i, \beta H_i + \lambda_i K H_i) | i = 1, \cdots, \alpha})属于扇形([\beta, \beta + K] \subseteq [0, \infty))。

PID - FC模糊控制器

对于PID - FC，控制误差(e)及其导数的论域分别为(e \in \bigcup_{i = 1}^{a - 1}[A_i, A_{i + 1}] = [A_1, A_a])，(\dot{e} \in \bigcup_{j = 1}^{b - 1}[B_j, B_{j + 1}] = [B_1, B_b])，(\ddot{e} \in \bigcup_{k = 1}^{c - 1}[C_k, C_{k + 1}] = [C_1, C_c])。输入向量为((e, \dot{e}, \ddot{e}) \in D = [A_1, A_a] \times [B_1, B_b] \times [C_1, C_c])，可分解为子立方体(D_{i,j,k})。

在子立方体(D_{i,j,k})中，模糊系统规则为“如果(e)是(M_i)，(\dot{e})是(M_j)，(\ddot{e})是(M_k)，则(\phi = Q_{i,j,k})”，隶属函数为三角形，构成强模糊划分。每个规则可等价表示为8条规则。

在P1 - TS系统中，对于((e, \dot{e}, \ddot{e}) \in D_{i,j,k})有：
- 生成器：(g(e, \dot{e}, \ddot{e}) = [1, e, \dot{e}, e\dot{e}, \ddot{e}, e\ddot{e}, \dot{e}\ddot{e}, e\dot{e}\ddot{e}]^T \in R^8)。
- 规则结果的实向量：(Q_{i,j,k} = [Q_{i,j,k,1}, \cdots, Q_{i,j,k,8}]^T \in R^8)。
- 常数系数向量：(\Theta_{i,j,k} = [\theta_{000}, \theta_{100}, \theta_{010}, \theta_{110}, \theta_{001}, \theta_{101}, \theta_{011}, \theta_{111}]^T \in R^8)。
- 模糊系统的基本矩阵：(\Omega_{i,j,k} = [g(v_{i,j,k,1}), \cdots, g(v_{i,j,k,8})] \in R^{8\times8})，其中(v_{i,j,k,1}, \cdots, v_{i,j,k,8})为子立方体(D_{i,j,k})的顶点。

控制器输出为(f_{i,j,k}(e, \dot{e}, \ddot{e}) = \Theta_{i,j,k}^T g(e, \dot{e}, \ddot{e}) = Q_{i,j,k}^T \Omega_{i,j,k}^{-1} g(e, \dot{e}, \ddot{e}))。

定理2指出，若PID - FC在每个子立方体(D_{i,j,k})中的规则结果向量(Q_{i,j,k} = r_{i,j,k}[v_{i,j,k,1}^T, \cdots, v_{i,j,k,8}^T]^T [1, q_1, q_2]^T)，且(r_{i,j,k} \in [\beta, \beta + K])，则该PID - FC属于扇形([\beta, \beta + K])。

例如，给定(q_1 = 12)，(q_2 = 36)，([\beta, \beta + K] = [1, 5])，(e \in [-9, 12])，(\dot{e} \in [-4, 5])，(\ddot{e} \in [-1, 1])，以及模糊划分点((A_1, A_2, A_3, A_4) = (-9, -3, 6, 12))，((B_1, B_2, B_3, B_4, B_5) = (-4, -2, 1, 3, 5))，((C_1, C_2) = (-1, 1))，共有96条模糊规则。以子立方体(D_{2,2,1} = [-3, 6] \times [-2, 1] \times [-1, 1])为例，其基本矩阵为：
(\Omega_{2,2,1} =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
-3 & 6 & -3 & 6 & -3 & 6 & -3 & 6 \
-2 & -2 & 1 & 1 & -2 & -2 & 1 & 1 \
6 & -12 & -3 & 6 & 6 & -12 & -3 & 6 \
-1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \
3 & -6 & 3 & -6 & -3 & 6 & -3 & 6 \
2 & 2 & -1 & -1 & -2 & -2 & 1 & 1 \
-6 & 12 & 3 & -6 & 6 & -12 & -3 & 6
\end{bmatrix})

6. 适应过程的思路

在自适应模糊控制中，适应过程是关键环节，它能使控制器根据系统的实时状态调整参数，以实现更好的控制效果。对于PID - FC控制器，适应过程旨在确保控制误差信号在一定条件下趋于零。

基于稳定性条件的适应

稳定性条件为适应过程提供了理论基础。如前文所述，系统需满足广义Hurwitz条件（GHC）、(g_1)和(z_1)的相关条件以及频率条件等。在适应过程中，要保证这些条件始终成立，从而确保系统的稳定性。

调整控制器参数

适应过程主要通过调整PID - FC控制器的参数来实现。这些参数包括规则的结果向量(Q_{i,j,k})、常数系数向量(\Theta_{i,j,k})等。通过不断调整这些参数，使控制器的输出能够更好地跟踪参考信号，减少控制误差。

梯度下降方法的应用

为了更有效地调整控制器参数，可以应用梯度下降方法。在P1 - TS模糊系统的分析理论基础上，对梯度下降方法进行了推广。通过计算误差函数关于控制器参数的梯度，沿着梯度的反方向更新参数，逐步优化控制器的性能。

以下是适应过程的主要步骤：
1. 初始化控制器参数，如(Q_{i,j,k})和(\Theta_{i,j,k})。
2. 实时监测系统的状态，包括控制误差(e(t))、(\dot{e}(t))和(\ddot{e}(t))。
3. 根据稳定性条件和当前系统状态，计算误差函数。
4. 利用梯度下降方法计算误差函数关于控制器参数的梯度。
5. 沿着梯度的反方向更新控制器参数。
6. 重复步骤2 - 5，直到控制误差满足要求或达到最大迭代次数。

graph LR
    A[初始化控制器参数] --> B[监测系统状态]
    B --> C[计算误差函数]
    C --> D[计算梯度]
    D --> E[更新控制器参数]
    E --> F{误差是否满足要求?}
    F -- 否 --> B
    F -- 是 --> G[结束适应过程]

7. 构建自适应PID - FC的分步过程

构建自适应PID - FC控制器需要遵循一定的步骤，以确保控制器的性能和稳定性。以下是详细的分步过程：

步骤1：确定系统模型和参数

首先，需要确定被控对象的传递函数(\hat{g}_0(s))，以及控制器的类型（PID - FC、PI - FC或PD - FC）。同时，确定相关的参数，如(\beta)、(K)、(q_1)和(q_2)等。

步骤2：划分输入论域

将控制误差(e)、(\dot{e})和(\ddot{e})的论域进行划分，确定模糊规则的前提部分。例如，对于控制误差(e)，可以划分为多个区间([A_i, A_{i + 1}])，并为每个区间定义相应的模糊集(M_i)。

步骤3：设计模糊规则

根据系统的特性和控制要求，设计模糊规则。规则的形式为“如果(e)是(M_i)，(\dot{e})是(M_j)，(\ddot{e})是(M_k)，则(\phi = Q_{i,j,k})”。规则的结果向量(Q_{i,j,k})需要根据稳定性条件和系统性能进行设计。

步骤4：确定P1 - TS系统的相关参数

对于每个子立方体(D_{i,j,k})，确定生成器(g(e, \dot{e}, \ddot{e}))、规则结果的实向量(Q_{i,j,k})、常数系数向量(\Theta_{i,j,k})和基本矩阵(\Omega_{i,j,k})。

步骤5：初始化控制器参数

根据步骤3和步骤4的结果，初始化控制器的参数，如(Q_{i,j,k})和(\Theta_{i,j,k})。

步骤6：进行适应过程

按照适应过程的思路，利用梯度下降方法等调整控制器参数，使控制误差逐渐减小。在适应过程中，要不断检查系统的稳定性条件是否满足。

步骤7：验证和优化

在适应过程完成后，验证控制器的性能。可以通过仿真或实际实验，观察控制误差是否满足要求。如果不满足要求，可以对控制器参数进行进一步的优化。

步骤	描述
步骤1	确定系统模型和参数
步骤2	划分输入论域
步骤3	设计模糊规则
步骤4	确定P1 - TS系统的相关参数
步骤5	初始化控制器参数
步骤6	进行适应过程
步骤7	验证和优化

8. 自适应PID - FC设计过程的结论

稳定性保证

通过本文所提出的设计方法，PID - FC控制系统的稳定性得到了有效保证。在满足一系列稳定性条件的情况下，控制误差信号在适应过程中能够趋于零，对于某些类别的参考信号也能实现良好的跟踪效果。

条件的改进

与传统方法相比，本文提出了更宽松、更通用的非线性模糊控制器条件。通过将模糊控制器视为P1 - TS系统，并应用相关的分析理论，减少了对控制器的限制，提高了设计的灵活性。

设计过程的自动化

在设计自适应模糊控制器的过程中，对于一些最繁琐的步骤实现了自动化。例如，在确定控制器参数和进行适应过程时，可以利用计算机程序自动完成，提高了设计效率。

应用前景

这种自适应PID - FC控制器在自动化领域具有广阔的应用前景。可以应用于各种工业控制系统，如航空航天、机械制造等行业，能够有效提高系统的控制性能和稳定性。

分类器在冷锻过程和CNC铣床主轴不平衡诊断中的应用

冷锻过程诊断

在冷锻过程中，准确诊断过程状态对于保证产品质量至关重要。可以使用各种分类器，如神经网络、遗传算法、支持向量机和决策树等方法，对冷锻过程进行实时诊断。

数据采集

首先，需要采集冷锻过程中的相关数据，如压力、温度、位移等。这些数据将作为分类器的输入。

特征提取

从采集到的数据中提取有用的特征，如均值、方差、峰值等。这些特征能够反映冷锻过程的状态。

分类器训练

使用采集到的数据和提取的特征，对分类器进行训练。通过训练，使分类器能够准确地识别冷锻过程中的正常状态和异常状态。

实时诊断

在冷锻过程中，实时采集数据并提取特征，输入到训练好的分类器中进行诊断。如果分类器判断为异常状态，则及时采取措施进行调整。

CNC铣床主轴不平衡诊断

CNC铣床主轴的不平衡会影响加工精度和机床的使用寿命。同样可以使用分类器对主轴的不平衡程度进行诊断。

振动信号采集

采集CNC铣床主轴的振动信号，这些信号包含了主轴的运行状态信息。

信号处理

对采集到的振动信号进行处理，如滤波、频谱分析等，提取与主轴不平衡相关的特征。

分类器训练和诊断

使用处理后的信号和提取的特征，对分类器进行训练。在实际运行中，实时采集振动信号并进行处理，输入到分类器中进行诊断，判断主轴的不平衡程度。

以下是冷锻过程和CNC铣床主轴不平衡诊断的流程对比：
| 诊断对象 | 数据采集 | 特征提取 | 分类器训练 | 实时诊断 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 冷锻过程 | 压力、温度、位移等 | 均值、方差、峰值等 | 神经网络、遗传算法等 | 实时判断正常或异常 |
| CNC铣床主轴不平衡 | 振动信号 | 与不平衡相关的特征 | 支持向量机、决策树等 | 判断不平衡程度 |

graph LR
    A[数据采集] --> B[特征提取]
    B --> C[分类器训练]
    C --> D[实时诊断]
    D --> E{是否异常?}
    E -- 是 --> F[采取措施]
    E -- 否 --> G[继续监测]

综上所述，计算智能方法在控制与诊断领域具有重要的应用价值。通过自适应模糊控制和分类器的应用，能够提高系统的控制性能和诊断准确性，为工业生产的自动化和智能化提供有力支持。