24、分数半线性系统的可控性与稳定性分析

分数半线性系统的可控性与稳定性分析

1. 分数半线性系统的可控性

对于动态系统，在无限维状态空间中需要引入两种主要的可控性概念：近似（弱）可控性和精确（强）可控性。近似可控性意味着能够将动态系统控制到最终状态，这些最终状态构成最终状态的一个稠密子空间。在实际应用中，近似可控性表示我们能够以任何给定的先验精度接近最终状态。从精确可控性可以推出近似可控性，而近似可控性具有重要的实际意义，因为在实际系统中，精确可控性往往是例外而非规则。

1.1 半线性延迟系统的近似可控性

考虑半线性延迟系统：
[
\begin{cases}
{}^{C}D^{\alpha}x(t) = Ax(t) + Bu(t) + f(t, x_t, u(t)), & t \in (0, t_1] \
x_0(\theta) = \varphi(\theta), & \theta \in [-h, 0]
\end{cases}
]
其中：
- $\frac{1}{2} < \alpha < 1$ 是分数阶导数的阶数。
- $A : D(A) \subseteq X \to X$ 是一个闭线性算子，其定义域 $D(A)$ 稠密，生成一个 $C_0$ - 半群 $S(t)$，$t \geq 0$。
- $x$ 是状态，取值于 Banach 空间 $X$。
- $u$ 是控制函数，取值于 $\tilde{X}$。
- $B$ 是从 $L^2([0, t_1]; \tilde{X})$ 到 $X$ 的有界线性算子。
- $f : [0, t_1] \times C