19、谐振子的算子方法求解及相干态研究

谐振子的算子方法求解及相干态研究

一、代数方法求解谐振子

1.1 基态波函数的推导

为了得到最低本征函数，我们从降低态的操作开始，使用特定方程。将本征矢转换为本征函数时，利用相关方程可知基态本征函数 $\psi_0 (x)$ 为 $\langle X |0\rangle$。在坐标表象下写出相应方程：
$\hat{a}\psi_0 (x) = 0 = \left(\frac{m\omega}{2\hbar}\right)^{\frac{1}{2}} \left(x + \frac{i}{m\omega} \hat{p}\right) \psi_0 (x) = \left(\frac{m\omega}{2\hbar}\right)^{\frac{1}{2}} \left(x + \frac{\hbar}{m\omega} \frac{d}{dx}\right) \psi_0 (x)$
这是一个关于 $\psi_0 (x)$ 的一阶线性微分方程，该方程可分离变量，其归一化解为：
$\psi_0 (x) = \left(\frac{\alpha^2}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\alpha^2x^2/2}$
其中 $\alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}$。需要注意的是，任意谐振子态矢量（波函数）是时间相关的，时间依赖性可通过对 $|\psi\rangle$ 作用时间演化算符得到，这相当于将态矢量展开式中的每个本征矢乘以包含本征值的适当指数。用本征矢 $|n\rangle$ 表示，任意态矢为：
$|\psi\rangle = \sum_{i = 0}^{\infty} a_i e^{-i E_i/\h