16、量子力学中的本征值方程与基本假设解读

量子力学中的本征值方程与基本假设解读

1. 对易关系与本征值方程概述

在量子力学里，存在一些重要的对易关系。例如，对于算符与函数的对易，有如下关系：
- ([x, f (\hat{p}_x)] = i\hbar\frac{\partial f (\hat{p}_x)}{\partial x})
- ([\hat{p}_x, g (x)] = -i\hbar\frac{\partial g (x)}{\partial \hat{p}_x})

本征值方程是量子力学的核心概念之一。用狄拉克符号表示，若一个算符仅改变向量的长度，可表示为 (\hat{A} |\alpha\rangle = a |\alpha\rangle)，这里的 (a) 是算符 (\hat{A}) 拉伸或压缩向量 (|\alpha\rangle) 的因子。这是本征值方程的一个简单例子，一般情况下，本征值可能是复数，且会有一组本征向量，每个本征向量都有其对应的本征值。

我们熟悉的定态薛定谔方程（TISE）其实就是本征值方程的一种形式，用狄拉克符号表示为 (\hat{H} |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle)，其中 (\hat{H}) 是哈密顿算符，(|\psi_n\rangle) 是本征向量（本征右矢），(E_n) 是对应的本征值。在一些情况下，如粒子在盒子中以及谐振子问题，其哈密顿算符会有无限多个本征向量和本征值。

当同一个本征值对应两个或更多不同的本征向量时，这些本征态就是简并的，具有相同本征值的本征态数量称为简并度。不过，对于一维势，能量本征态不存在简并。

2. 厄米算符的性质与本征值方程

厄米算