45、变量绑定、对称幺半闭理论与双图的深入解析

变量绑定、对称幺半闭理论与双图的深入解析

1. π - 演算示例

在 π - 演算中，存在一个合理的理论 T，它至少包含操作 s 和 g，同时在 v 上具备交换余幺半结构 (c, w)，在 t 上有交换幺半结构 (|, 0)。另外，还有一个名称限制操作 (I \xrightarrow{\nu} v)，满足 (w \circ \nu = id_I)。

以 π - 演算项 ((a(x).(\blacksquare0 | \overline{x}\langle x\rangle)) | \nu b.(\overline{a}\langle b\rangle.\blacksquare1)) 为例，它在 (S(T)) 中作为态射有多种解释。如图 3 所示，多个从 v 端口出发的箭头表示收缩树，多个进入 t 端口的箭头表示并行组合树，没有输入箭头的正 t 端口表示 0。

其中，洞 (\blacksquare0) 和 (\blacksquare1) 按顺序由定义域公式中的 t 表示，项的自由变量 a 由余定义域中的 v 表示，且使用了三次。

利用对称幺半闭（smc）范畴的语言，我们可以在语法上获得更多灵活性。例如：
- 若规定 (\blacksquare0) 和 (\blacksquare1) 不能使用 a，需将定义域改为 ((v \multimap t) \otimes (v \multimap t))，并移除最左边的线。
- 若仅允许 (\blacksquare0) 使用 a，而 (\blacksquare1) 不使用，则将定义域改为 (((v \otimes v) \multimap t) \otimes (v \multimap t))。